| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать делимость выражения http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25259 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | afraumar [ 07 июн 2013, 18:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать делимость выражения |
Добрый день! Пожалуйста, объясните принцип решения подобных задач: Докажите, что при любом [math]n \in N[/math]: число [math]3^{4n}+4[/math] делится на 5. Действительно, если вместо n подставить любые значения, то равенство получается. Но как доказать без использования подставления чисел? Например, я попробовала [math]81^{n}+4[/math], то есть возвела 3 в 4ую степень, и что дальше? |
|
| Автор: | andrei [ 07 июн 2013, 18:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать делимость выражения |
[math]81^{n}+4=(80+1)^{n}+4[/math] То есть в любом случае [math](80+1)^{n}[/math] при делении на [math]5[/math] будет давать в остатке [math]1[/math].А [math]1+4=5[/math] |
|
| Автор: | Uncle Fedor [ 07 июн 2013, 19:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать делимость выражения |
Существует, по крайней мере, три способа решения данной задачи: 1) Преобразование данного выражения и использование свойств делимости целых чисел. 2) С помощью метода математической индукции. 3) С помощью теории сравнений. Рассмотрим решение данной задачи первым способом. В процессе решения нам пригодится формула [math]{x^n}-{a^n}= \left({x - a}\right)\left({{x^{n - 1}}+{x^{n - 2}}a + ... + x{a^{n - 2}}+{a^{n - 1}}}\right)[/math], где [math]n \in N[/math], [math]n \ge 2[/math]. Рассмотрим два возможных случая: I. Если [math]n = 1[/math], то [math]{3^{4n}}+ 4 ={3^4}+ 4 = 81 + 4 = 85 \vdots 5[/math]. II. Если [math]n \in N[/math] и [math]n \ge 2[/math], то [math]{3^{4n}}+ 4 ={\left({{3^4}}\right)^n}- 1 + 1 + 4 ={81^n}- 1 + 5 = \left({81 - 1}\right)\left({{{81}^{n - 1}}+ ... + 1}\right) + 5 = 80\left({{{81}^{n - 1}}+ ... + 1}\right) + 5 \vdots 5[/math]. Таким образом, при любом натуральном значении [math]n[/math] выражение [math]{3^{4n}}+ 4[/math] нацело делится на [math]5[/math]. |
|
| Автор: | andrei [ 07 июн 2013, 19:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать делимость выражения |
Дык я ориетировался на школьную математику,а то тут вообще можно было применить малую теорему Ферма.
|
|
| Автор: | Uncle Fedor [ 07 июн 2013, 19:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать делимость выражения |
andrei писал(а): Дык я ориетировался на школьную математику,а то тут вообще можно было применить малую теорему Ферма. ![]() В приведенном мной способе решения нет чего-либо выходящего за рамки школьной программы по математике. А как объяснить, почему при любом натуральном [math]n[/math] число [math]{3^{4n}}[/math] при делении на [math]5[/math] даёт в остатке [math]1[/math]? В общеобразовательных классах формула бинома Ньютона не изучается. |
|
| Автор: | andrei [ 07 июн 2013, 19:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать делимость выражения |
Uncle Fedor писал(а): В общеобразовательных классах формула бинома Ньютона не изучается. Странно,я в свое время изучал. |
|
| Автор: | afraumar [ 07 июн 2013, 21:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать делимость выражения |
спасибо огромное! формула бинома Ньютона изучается, я сейчас по учебнику для технических классов занимаюсь - правда, 8 класс и пока еще этого не было. постараюсь разобраться! спасибо еще раз! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|