Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать делимость выражения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25259
Страница 1 из 1

Автор:  afraumar [ 07 июн 2013, 18:28 ]
Заголовок сообщения:  Доказать делимость выражения

Добрый день!

Пожалуйста, объясните принцип решения подобных задач:

Докажите, что при любом [math]n \in N[/math]:

число [math]3^{4n}+4[/math] делится на 5.

Действительно, если вместо n подставить любые значения, то равенство получается. Но как доказать без использования подставления чисел? Например, я попробовала [math]81^{n}+4[/math], то есть возвела 3 в 4ую степень, и что дальше?

Автор:  andrei [ 07 июн 2013, 18:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать делимость выражения

[math]81^{n}+4=(80+1)^{n}+4[/math]
То есть в любом случае [math](80+1)^{n}[/math] при делении на [math]5[/math] будет давать в остатке [math]1[/math][math]1+4=5[/math]

Автор:  Uncle Fedor [ 07 июн 2013, 19:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать делимость выражения

Существует, по крайней мере, три способа решения данной задачи:

1) Преобразование данного выражения и использование свойств делимости целых чисел.
2) С помощью метода математической индукции.
3) С помощью теории сравнений.

Рассмотрим решение данной задачи первым способом.
В процессе решения нам пригодится формула [math]{x^n}-{a^n}= \left({x - a}\right)\left({{x^{n - 1}}+{x^{n - 2}}a + ... + x{a^{n - 2}}+{a^{n - 1}}}\right)[/math], где [math]n \in N[/math], [math]n \ge 2[/math].
Рассмотрим два возможных случая:
I. Если [math]n = 1[/math], то [math]{3^{4n}}+ 4 ={3^4}+ 4 = 81 + 4 = 85 \vdots 5[/math].
II. Если [math]n \in N[/math] и [math]n \ge 2[/math], то
[math]{3^{4n}}+ 4 ={\left({{3^4}}\right)^n}- 1 + 1 + 4 ={81^n}- 1 + 5 = \left({81 - 1}\right)\left({{{81}^{n - 1}}+ ... + 1}\right) + 5 = 80\left({{{81}^{n - 1}}+ ... + 1}\right) + 5 \vdots 5[/math].
Таким образом, при любом натуральном значении [math]n[/math] выражение [math]{3^{4n}}+ 4[/math] нацело делится на [math]5[/math].

Автор:  andrei [ 07 июн 2013, 19:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать делимость выражения

Дык я ориетировался на школьную математику,а то тут вообще можно было применить малую теорему Ферма. :)

Автор:  Uncle Fedor [ 07 июн 2013, 19:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать делимость выражения

andrei писал(а):
Дык я ориетировался на школьную математику,а то тут вообще можно было применить малую теорему Ферма. :)

В приведенном мной способе решения нет чего-либо выходящего за рамки школьной программы по математике.
А как объяснить, почему при любом натуральном [math]n[/math] число [math]{3^{4n}}[/math] при делении на [math]5[/math] даёт в остатке [math]1[/math]?
В общеобразовательных классах формула бинома Ньютона не изучается.

Автор:  andrei [ 07 июн 2013, 19:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать делимость выражения

Uncle Fedor писал(а):
В общеобразовательных классах формула бинома Ньютона не изучается.

Странно,я в свое время изучал.

Автор:  afraumar [ 07 июн 2013, 21:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать делимость выражения

спасибо огромное! формула бинома Ньютона изучается, я сейчас по учебнику для технических классов занимаюсь - правда, 8 класс и пока еще этого не было. постараюсь разобраться! спасибо еще раз!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/