Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать делимость выражения
СообщениеДобавлено: 07 июн 2013, 18:28 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!

Пожалуйста, объясните принцип решения подобных задач:

Докажите, что при любом [math]n \in N[/math]:

число [math]3^{4n}+4[/math] делится на 5.

Действительно, если вместо n подставить любые значения, то равенство получается. Но как доказать без использования подставления чисел? Например, я попробовала [math]81^{n}+4[/math], то есть возвела 3 в 4ую степень, и что дальше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость выражения
СообщениеДобавлено: 07 июн 2013, 18:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]81^{n}+4=(80+1)^{n}+4[/math]
То есть в любом случае [math](80+1)^{n}[/math] при делении на [math]5[/math] будет давать в остатке [math]1[/math][math]1+4=5[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Sviatoslav, Uncle Fedor
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость выражения
СообщениеДобавлено: 07 июн 2013, 19:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Существует, по крайней мере, три способа решения данной задачи:

1) Преобразование данного выражения и использование свойств делимости целых чисел.
2) С помощью метода математической индукции.
3) С помощью теории сравнений.

Рассмотрим решение данной задачи первым способом.
В процессе решения нам пригодится формула [math]{x^n}-{a^n}= \left({x - a}\right)\left({{x^{n - 1}}+{x^{n - 2}}a + ... + x{a^{n - 2}}+{a^{n - 1}}}\right)[/math], где [math]n \in N[/math], [math]n \ge 2[/math].
Рассмотрим два возможных случая:
I. Если [math]n = 1[/math], то [math]{3^{4n}}+ 4 ={3^4}+ 4 = 81 + 4 = 85 \vdots 5[/math].
II. Если [math]n \in N[/math] и [math]n \ge 2[/math], то
[math]{3^{4n}}+ 4 ={\left({{3^4}}\right)^n}- 1 + 1 + 4 ={81^n}- 1 + 5 = \left({81 - 1}\right)\left({{{81}^{n - 1}}+ ... + 1}\right) + 5 = 80\left({{{81}^{n - 1}}+ ... + 1}\right) + 5 \vdots 5[/math].
Таким образом, при любом натуральном значении [math]n[/math] выражение [math]{3^{4n}}+ 4[/math] нацело делится на [math]5[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
mad_math, Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость выражения
СообщениеДобавлено: 07 июн 2013, 19:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дык я ориетировался на школьную математику,а то тут вообще можно было применить малую теорему Ферма. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость выражения
СообщениеДобавлено: 07 июн 2013, 19:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Дык я ориетировался на школьную математику,а то тут вообще можно было применить малую теорему Ферма. :)

В приведенном мной способе решения нет чего-либо выходящего за рамки школьной программы по математике.
А как объяснить, почему при любом натуральном [math]n[/math] число [math]{3^{4n}}[/math] при делении на [math]5[/math] даёт в остатке [math]1[/math]?
В общеобразовательных классах формула бинома Ньютона не изучается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость выражения
СообщениеДобавлено: 07 июн 2013, 19:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Uncle Fedor писал(а):
В общеобразовательных классах формула бинома Ньютона не изучается.

Странно,я в свое время изучал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость выражения
СообщениеДобавлено: 07 июн 2013, 21:04 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
спасибо огромное! формула бинома Ньютона изучается, я сейчас по учебнику для технических классов занимаюсь - правда, 8 класс и пока еще этого не было. постараюсь разобраться! спасибо еще раз!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать делимость выражения

в форуме Алгебра

north13anastasia

5

482

19 ноя 2016, 03:18

Доказать делимость выражения

в форуме Теория чисел

Freulein

2

485

14 окт 2016, 16:17

Делимость выражения

в форуме Алгебра

Torro

16

749

25 мар 2018, 22:31

Определить делимость выражения

в форуме Алгебра

Lana67

12

569

15 ноя 2016, 22:35

Определить делимость выражения

в форуме Алгебра

Lana67

3

510

10 ноя 2016, 23:14

Доказать делимость

в форуме Теория чисел

Alexandr_efremov

1

544

14 янв 2018, 19:27

Доказать делимость

в форуме Алгебра

mishashisha999

1

136

27 сен 2021, 21:18

Доказать делимость

в форуме Теория чисел

global_silence

5

668

11 июн 2017, 20:05

Доказать делимость

в форуме Теория чисел

Windrunner

5

522

06 сен 2015, 23:36

Доказать делимость

в форуме Алгебра

Nastya Way

2

582

26 ноя 2015, 20:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved