Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Докажите равенство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=24978
Страница 1 из 2

Автор:  afraumar [ 01 июн 2013, 16:01 ]
Заголовок сообщения:  Докажите равенство

Добрый день!
Докажите, что если [math]\frac{ a }{ b } = \frac{ b }{ c }[/math], то верно равенство:
[math]\frac{a^{ 2} + b^{2} }{ b^{2} + c^{2} } = \frac{ a^{2} }{ b^{2} } ^{}[/math]

Спасибо!

Автор:  Avgust [ 01 июн 2013, 16:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите равенство

Из пропорций:

1) [math]b^2=ac[/math]

2) [math]a^2(b^2+c^2)=b^2(a^2+b^2) \to b^4=a^2 c^2[/math],
а это то же самое , что и 1)

Так ровно в 5 раз проще, чем у Uncle Fedor :)

Автор:  Uncle Fedor [ 01 июн 2013, 16:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите равенство

Можно так рассуждать:

[math]\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = k \Rightarrow \left| \begin{array}{l}b = ck,\\a = bk = ck \cdot k = c{k^2}.\end{array} \right.\\\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{{\left( {c{k^2}} \right)}^2} + {{\left( {ck} \right)}^2}}}{{{{\left( {ck} \right)}^2} + {c^2}}} = \frac{{{c^2}{k^4} + {c^2}{k^2}}}{{{c^2}{k^2} + {c^2}}} = \frac{{{c^2}{k^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}}{{{c^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}} = {k^2},\\\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{{\left( {c{k^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {ck} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2}{k^4}}}{{{c^2}{k^2}}} = {k^2}.\end{array}[/math]

Отсюда следует, что [math]\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = {k^2} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.[/math]

А ещё быстрее можно сделать, используя производные пропорции, всё решение - одна строчка.

Автор:  Uncle Fedor [ 01 июн 2013, 16:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите равенство

[math]\frac{a}{b} = \frac{b}{c} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}.[/math]

Автор:  afraumar [ 01 июн 2013, 17:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите равенство

спасибо, но я не очень понимаю, как и почему выводится самое последнее равенвство после [math]\frac{ b^{2} }{c^{2} }[/math] и как у нас в знаменателе получается [math]b^{2} +c^{2}[/math] ?

Автор:  andrei [ 01 июн 2013, 17:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите равенство

[math]\frac{ a }{ b }= \frac{ b }{ c } \Rightarrow ac=b^{2}[/math]
[math]\frac{ a^{2}+b^{2} }{ b^{2}+c^{2} }= \frac{ a^{2}+ac }{ c^{2}+ac } = \frac{ a }{ c }= \frac{ a^{2} }{ ac } = \frac{ a^{2} }{ b^{2} }[/math]

Автор:  vorvalm [ 01 июн 2013, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите равенство

afraumar писал(а):
спасибо, но я не очень понимаю, как и почему выводится самое последнее равенвство после [math]\frac{ b^{2} }{c^{2} }[/math] и как у нас в знаменателе получается [math]b^{2} +c^{2}[/math] ?

Так же, как и [math]\frac a b=\frac b c=\frac{a+b}{b+c}[/math]

Автор:  afraumar [ 01 июн 2013, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите равенство

vorvalm писал(а):
afraumar писал(а):
спасибо, но я не очень понимаю, как и почему выводится самое последнее равенвство после [math]\frac{ b^{2} }{c^{2} }[/math] и как у нас в знаменателе получается [math]b^{2} +c^{2}[/math] ?

Так же, как и [math]\frac a b=\frac b c=\frac{a+b}{b+c}[/math]

Слушайте, у меня явно какой-то пробел в понимании - а это-то как?

Автор:  afraumar [ 01 июн 2013, 18:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите равенство

я поняла, как сделать с пропорцией.

Автор:  afraumar [ 01 июн 2013, 18:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите равенство

andrei писал(а):
[math]\frac{ a }{ b }= \frac{ b }{ c } \Rightarrow ac=b^{2}[/math]
[math]\frac{ a^{2}+b^{2} }{ b^{2}+c^{2} }= \frac{ a^{2}+ac }{ c^{2}+ac } = \frac{ a }{ c }= \frac{ a^{2} }{ ac } = \frac{ a^{2} }{ b^{2} }[/math]


это совершенно непонятно - как Вы сократили вдруг квадраты и так далее

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/