Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решение логарифмических уравнений
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=24568
Страница 3 из 3

Автор:  Lisa666 [ 23 май 2013, 00:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение логарифмических уравнений

Вы можете тут подкалывать сколько угодно. Если вы такие умные и шарите в математике,то это не значит что остальные такие же. Я например болела и не знаю теперь как решать контрольную работу.Не дается мне алгебра и все эти формулы. Поэтому прошу помощи ,а не сообщения подобного плана - "Что за простые задания?))
Вы квадратное уравнение что ли не умеете решать и не знаете простейших свойств степеней?)" (с)
Решение мне нужно а не ответы типа " 4.1 сразу ответ -1 "

Автор:  Gyfto [ 23 май 2013, 06:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение логарифмических уравнений

Lisa666 писал(а):
Я например болела

В школе тоже? Мы вот цыгане, я знаю изнутри эту среду, так вот, у меня немало знакомых цыган, которые бросили школу около шестого класса, потом по своей глупости купили аттестат (вчера вот один буквально говорил - 15 тыс.), засветились этим в военкомате, ну и безвыходное положение снова идти учиться ради справки об обучении. Сначала самообразованием подготовка к экзаменам, потом поступление, потом лень цыганская, поучились - принесли справку - бросили, потом на следующий год опять двадцать пять, снова подготовка к экзаменам на самообразовании, и так до двадцати семи лет. Точнее, задерживаются-таки на одном ВУЗе за четыре-пять лет до своих двадцати семи. И редко-редко кто идёт на платные отделения, дураков нет, все разЫ отделения чаще бюджетные. В итоге это приводит в среднем к шести классам образования и шести брошенным институтам, последний доучились. Самоучки, до мозга костей. И вот после таких реальных случаев перед глазами ваше "я болела" - не катит. Я посмотрю четвёртое как освобожусь, но думать вас постараюсь заставить. У нас кстати есть такая цыганская пословица - можно лениться что-то делать, но никогда нельзя лениться думать. У большинства простого населения с этим наоборот проблемы, - вся наша система образования не учит думать, она учит только послушанию и исполнительности, потому что государственной машине нужны люди не думающие, а исполнительные. Как-то так.

Автор:  slog [ 23 май 2013, 07:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение логарифмических уравнений

Lisa666
А что вы хотите?
[math]1-3x=4[/math]
Вы не можете такое уравнение решить?
или [math]t^2-8t+7=0[/math]?

Я не знаю просто что тут объяснять(

Автор:  Gyfto [ 23 май 2013, 17:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение логарифмических уравнений

[math]2^{1-3x}=16[/math]. Решайте на примере: [math]3^{1-2x}=27 \Leftrightarrow 3^{1-2x}=3^3 \Rightarrow \Rightarrow 1-2x=3 \Rightarrow -2x=3-1 \Rightarrow -2x=2 \Rightarrow 2x=-2 \Rightarrow x=-1[/math]

[math]3^x=81[/math]. Решайте на примере: [math]5^x=25 \Leftrightarrow 5^x=5^2 (25=5 \cdot 5=5^2) \Rightarrow x=2[/math]
Или [math]5^x=125 \Leftrightarrow 5^x=5^3 (125=5 \cdot 5 \cdot 5=5^3) \Rightarrow x=3[/math]
Или [math]5^x=625 \Leftrightarrow 5^x=5^4 (625=5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5=5^4) \Rightarrow x=4[/math]

[math]7^{2x}-8 \cdot 7^x+7=0[/math]. Решайте на примере:
[math]5^{2x}-6 \cdot 5^x+5=0[/math]. Здесь надо пойти по адресу viewtopic.php?p=106948#p106948 ("основные формулы алгебры" здесь на форуме) и глянуть свойства корней:

[math]\begin{aligned}&{\color{blue}a}^0=1,\qquad%20{\color{blue}a}^1={\color{blue}a},\qquad%20{\color{blue}a}^n=%20\underbrace{{\color{blue}a}\cdot%20{\color{blue}a}\cdot%20\ldots\cdot%20{\color{blue}a}}_{n},\qquad%20{\color{blue}a}^{-n}=\frac{1}{{\color{blue}a}^n},\qquad%20{\color{blue}a}^{1%20\!\not{\phantom{|}}\,\,n}=\sqrt[n]{{\color{blue}a}},\qquad%20{\color{blue}a}^{m%20\!\not{\phantom{|}}\,\,n}=\sqrt[n]{{\color{blue}a}^m}\\[-5pt]%20&{\color{red}\boxed{{\color{black}({\color{blue}a}^p)^q=%20{\color{blue}a}^{p\cdot%20q}}}},\qquad%20{\color{blue}a}^p\cdot%20{\color{blue}a}^q=%20{\color{blue}a}^{p+q},\qquad%20({\color{blue}a}\cdot%20{\color{blue}b})^p={\color{blue}a}^p\cdot%20{\color{blue}b}^p,\qquad%20\frac{{\color{blue}a}^p}{{\color{blue}a}^q}=%20{\color{blue}a}^{p-q},\qquad%20\left(\frac{{\color{blue}a}}{{\color{blue}b}}\right)^p=%20\frac{{\color{blue}a}^p}{{\color{blue}b}^p}\end{aligned}[/math]

- то есть [math]5^{2x}={5^x}^2[/math]. Значит делаем подстановку: [math]5^x=y[/math], и получаем обычное квадратное уравнение: [math]y^2-6y+5=0. D=b^2-4 \cdot a \cdot c=6^2-4 \cdot 1 \cdot 5=36-20=16. y_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}= \frac{6 \pm 4}{2}=1; 5[/math]. Получили корни, подставляем обратно: [math]5^x=1; 5^x=5 \Leftrightarrow 5^x=5^0; 5^x=5^1[/math]. Почему? Потому что

[math]\begin{aligned}&{\color{red}\boxed{{\color{black}{\color{blue}a}^0=1}}},\qquad%20{\color{red}\boxed{{\color{black}{\color{blue}a}^1={\color{blue}a}}}},\qquad%20{\color{blue}a}^n=%20\underbrace{{\color{blue}a}\cdot%20{\color{blue}a}\cdot%20\ldots\cdot%20{\color{blue}a}}_{n},\qquad%20{\color{blue}a}^{-n}=\frac{1}{{\color{blue}a}^n},\qquad%20{\color{blue}a}^{1%20\!\not{\phantom{|}}\,\,n}=\sqrt[n]{{\color{blue}a}},\qquad%20{\color{blue}a}^{m%20\!\not{\phantom{|}}\,\,n}=\sqrt[n]{{\color{blue}a}^m}\\[-5pt]%20&({\color{blue}a}^p)^q=%20{\color{blue}a}^{p\cdot%20q},\qquad%20{\color{blue}a}^p\cdot%20{\color{blue}a}^q=%20{\color{blue}a}^{p+q},\qquad%20({\color{blue}a}\cdot%20{\color{blue}b})^p={\color{blue}a}^p\cdot%20{\color{blue}b}^p,\qquad%20\frac{{\color{blue}a}^p}{{\color{blue}a}^q}=%20{\color{blue}a}^{p-q},\qquad%20\left(\frac{{\color{blue}a}}{{\color{blue}b}}\right)^p=%20\frac{{\color{blue}a}^p}{{\color{blue}b}^p}\end{aligned}[/math]

И отсюда получаем, что [math]x=0; x=1[/math].

[math]3^{2x}-10 \cdot 3^x -18=0[/math]. Решайте на примере:
[math]5^{2x}-2 \cdot 5^x -2=0[/math]. Аналогично делаем подстановку [math]y=5^x[/math], получаем квадратное уравнение [math]y^2-2 \cdot y -2=0. D=b^2-4 \cdot a \cdot c=2^2 - 4 \cdot (-2)=4+8=12, \sqrt{12}=\sqrt{4 \cdot 3}= 2 \sqrt{3}; y_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}= \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1}=1 \pm \sqrt{3}[/math] Переходим обратно: [math]1 \pm \sqrt{3}=5^x[/math] Идём на свойства логарифмов:

[math]\begin{aligned}&{\color{red}\boxed{{\color{black}\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}={\color{blue}c}~%20\Leftrightarrow~%20{\color{blue}a}^{{\color{blue}c}}={\color{blue}b}}}},\qquad%20\lg{\color{blue}b}=%20\log_{10}{\color{blue}b},\qquad%20\ln{\color{blue}b}=%20\log_{e}{\color{blue}b}\quad%20(e\approx2,\!71),\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}a}=1,\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}\!1=0\\%20&{\color{blue}a}^{\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}}={\color{blue}b},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}({\color{blue}b}\cdot%20{\color{blue}c})=%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}+%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}c},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}%20\frac{{\color{blue}b}}{{\color{blue}c}}=%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}-\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}c},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}\,^p=%20p\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}\\%20&{\color{blue}c}^{\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}}=%20{\color{blue}b}^{\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}c}},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}=%20\frac{1}{\log_{{\color{blue}b}}{\color{blue}a}},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}b=%20\frac{\log_{\color{blue}c}{\color{blue}b}}{\log_{{\color{blue}c}}{\color{blue}a}},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}\cdot%20\log_{{\color{blue}b}}{\color{blue}c}=%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}c},\qquad%20\log_{\,{\color{blue}a}^p}{\color{blue}b}=%20\frac{1}{p}\log_{\,{\color{blue}a}}{\color{blue}b}\end{aligned}[/math]
- [math]x[/math] это у нас [math]c[/math], [math]a[/math] у нас [math]5[/math], а [math]b[/math] у нас найденные корни, отсюда, смотря одним глазом на ту же формулу, получаем [math]x=\log_{5}{(1 \pm \sqrt{3})}[/math]

[math]3 \cdot{\log_{4}{x}}^2 - 7 \cdot \log_{4}{x}+ 2=0[/math]
Решайте на примере: [math]3 \cdot{\log_{2}{x}}^2 - 13 \cdot \log_{2}{x}+4=0[/math]. Делаем подстановку [math]y=\log_{2}{x}[/math], получаем обыкновенное квадратное уравнение: [math]3y^2-13y+4=0. D=b^2-4 \cdot a \cdot c = (-13)^2-4 \cdot 3 \cdot 4=169-48=121. y_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a}= \frac{-(-13) \pm 11}{2 \cdot 3}= \frac{1}{3}; 4[/math] Возвращаемся обратно: [math]\log_{2}{x}= \frac{1}{3}[/math] и[math]\log_{2}{x}= 4[/math] Для того, чтобы получить [math]x[/math], надо число, которое находится правее равенства, подставить в степень числа, которое находится в подполе логарифма, то есть [math]x=2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}[/math] - это потому что

[math]\begin{aligned}&{\color{blue}a}^0=1,\qquad%20{\color{blue}a}^1={\color{blue}a},\qquad%20{\color{blue}a}^n=%20\underbrace{{\color{blue}a}\cdot%20{\color{blue}a}\cdot%20\ldots\cdot%20{\color{blue}a}}_{n},\qquad%20{\color{blue}a}^{-n}=\frac{1}{{\color{blue}a}^n},\qquad%20{\color{red}\boxed{{\color{black}{\color{blue}a}^{1%20\!\not{\phantom{|}}\,\,n}=\sqrt[n]{{\color{blue}a}}}}},\qquad%20{\color{blue}a}^{m%20\!\not{\phantom{|}}\,\,n}=\sqrt[n]{{\color{blue}a}^m}\\[-5pt]%20&({\color{blue}a}^p)^q=%20{\color{blue}a}^{p\cdot%20q},\qquad%20{\color{blue}a}^p\cdot%20{\color{blue}a}^q=%20{\color{blue}a}^{p+q},\qquad%20({\color{blue}a}\cdot%20{\color{blue}b})^p={\color{blue}a}^p\cdot%20{\color{blue}b}^p,\qquad%20\frac{{\color{blue}a}^p}{{\color{blue}a}^q}=%20{\color{blue}a}^{p-q},\qquad%20\left(\frac{{\color{blue}a}}{{\color{blue}b}}\right)^p=%20\frac{{\color{blue}a}^p}{{\color{blue}b}^p}\end{aligned}[/math]

и второй корень [math]x=2^4=16[/math].

Следующее уже решали.

[math]\log_{2}{3x}= \log_{2}{4}+ \log_{2}{6}[/math] Решайте на примере: [math]\log_{7}{5x}=\log_{7}{5}+\log_{7}{8}[/math] Смотрим свойства логарифмов по ссылке, ищем сумму логарифмов:

[math]\begin{aligned}&\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}={\color{blue}c}~%20\Leftrightarrow~%20{\color{blue}a}^{{\color{blue}c}}={\color{blue}b},\qquad%20\lg{\color{blue}b}=%20\log_{10}{\color{blue}b},\qquad%20\ln{\color{blue}b}=%20\log_{e}{\color{blue}b}\quad%20(e\approx2,\!71),\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}a}=1,\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}\!1=0\\%20&{\color{blue}a}^{\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}}={\color{blue}b},\qquad%20{\color{red}\boxed{{\color{black}\log_{{\color{blue}a}}({\color{blue}b}\cdot%20{\color{blue}c})=%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}+%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}c}}}},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}%20\frac{{\color{blue}b}}{{\color{blue}c}}=%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}-\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}c},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}\,^p=%20p\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}\\%20&{\color{blue}c}^{\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}}=%20{\color{blue}b}^{\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}c}},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}=%20\frac{1}{\log_{{\color{blue}b}}{\color{blue}a}},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}b=%20\frac{\log_{\color{blue}c}{\color{blue}b}}{\log_{{\color{blue}c}}{\color{blue}a}},\qquad%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}b}\cdot%20\log_{{\color{blue}b}}{\color{blue}c}=%20\log_{{\color{blue}a}}{\color{blue}c},\qquad%20\log_{\,{\color{blue}a}^p}{\color{blue}b}=%20\frac{1}{p}\log_{\,{\color{blue}a}}{\color{blue}b}\end{aligned}[/math]

- отсюда получаем, что [math]\log_{7}{5}+\log_{7}{8}=\log_{7}{5 \cdot 8}=\log_{7}{40}[/math] Значит, [math]\log_{7}{5x}=\log_{7}{40}[/math] отсюда [math]5x=40 \Rightarrow x= \frac{40}{5}= 8[/math]

Если не решите, значит тут медицина бессильна.

Автор:  valentina [ 23 май 2013, 17:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение логарифмических уравнений

Gyfto
slog
вообще-то это безобразие решать здесь всю контрольную работу. Не дай бог вам попасть с травмой к ТС, а вдруг он проболел очередную тему и пришьёт вам ухо к носу

Автор:  Gyfto [ 24 май 2013, 05:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение логарифмических уравнений

Пусть взрослеет, срок у неё до вторника. Там примеры, заточенные под её задания, проще только счётные палочки в ДДУ. Серьёзно.

Автор:  slog [ 24 май 2013, 09:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение логарифмических уравнений

Gyfto
Как только не лень было все свойства набирать))

Автор:  mad_math [ 24 май 2013, 20:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение логарифмических уравнений

slog
slog писал(а):
Gyfto
Как только не лень было все свойства набирать))
Это не лень было сделать нашему Великому Администратору для того, чтобы они были всегда под рукой: viewtopic.php?f=10&t=20137
А в эту тему их уже скопипастили.

Автор:  Lisa666 [ 26 май 2013, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение логарифмических уравнений

Правила форума Math Help Planet
Нарушением считается: а) размещение текстовых и визуальных сообщений нецензурного, оскорбительного, клеветнического, порнографического содержания, призывов к национальной, религиозной, расовой нетерпимости и розни, а также иных материалов, противоречащих нормам Конституции и законодательства РФ;
д) провокационные и вызывающие сообщения, оскорбления в адрес участников дискуссии, разжигание флейма, обсуждение в тематических разделах ников*, аватаров*, подписей* собеседников;


Комментарий модератора: униженным и оскорблённым тут не подают.

Страница 3 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/