Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить систему неравенств
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=24515
Страница 1 из 1

Автор:  Gyfto [ 21 май 2013, 22:05 ]
Заголовок сообщения:  Решить систему неравенств

Найти все значения [math]x[/math], при котором [math]\left\{\!\begin{aligned}& 1-((a+1)e^{-x} -1)^2<0 \\ & x \geqslant 0 \\ & a \in [-1;2 e^x-1] \end{aligned}\right.[/math]
Там и второе задание такое же, но то уже по аналогии решу. Как решаются такие неравенства? Чувствую, что решения не существует, то есть первое неравенство будет всегда [math]\geqslant 0[/math]при любом [math]x \geqslant 0[/math], но надо это сначала доказать...

Автор:  Gyfto [ 22 май 2013, 08:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить систему неравенств

Сначала находим корни уравнения [math]1-((a+1)e^{-x}-1)^2=0 \Rightarrow x=ln( \frac{a+1}{2})[/math]. Значит, это у нас будет узловая точка, и надо посмотреть, какой знак будет до, какой после. Значение под логарифмом должно быть всегда больше нуля, отсюда [math]\frac{a+1}{2}>0 \Rightarrow a>-1[/math] . Далее, [math]x=ln( \frac{a+1}{2}) \Rightarrow a=2e^x-1[/math] - всё в точности на края диапазона. Подставим в уравнение среднюю точку [math]\frac{a_1+a_2}{2}[/math] , т.е. [math]a= \frac{(2e^x-1)+(-1)}{2}= e^x-1[/math]: [math]1-((a+1)e^{-x}-1)^2=1-(((e^x-1)+1)e^{-x}-1)^2=1[/math] - знак положительный. Значит, на данном интервале неравенство будет всегда [math]\geqslant 0[/math]. Ах, да: ещё надо убедиться, что правая граница диапазона всегда будет положительна: [math]2e^x-1<0 \Rightarrow x<-ln 2[/math], что противоречит условию [math]x \geqslant 0[/math]. Теперь как бы всё это записать. Говорите, где что нелогично выглядит, а то у меня походу вечная проблема с ясным выражением мыслей :)

Автор:  Gyfto [ 22 май 2013, 09:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить систему неравенств

Может так? Решаем уравнение относительно [math]a[/math] (а не [math]x[/math]). [math]1-((a+1)e^{-x}-1)^2=0 \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned}& a=-1 \\ & a=2e^x-1 \end{aligned}\right.[/math]Подставляем среднюю точку, получаем единицу, делаем вывод что на этом интервале выражение всегда будет [math]>0[/math], всё.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/