| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Представить дробь в виде суммы двух дробей http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=24463 |
Страница 1 из 3 |
| Автор: | afraumar [ 20 май 2013, 19:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Представить дробь в виде суммы двух дробей |
Добрый день! Пожалуйста, объясните, способы "Представить дробь в виде суммы двух дробей, знаменатели которых - многочлены первой степени относительно х: [math]1)\, \frac{4x+3}{x^2-1}[/math] [math]2)\, \frac{x+28}{x^2-36}[/math] Спасибо! |
|
| Автор: | mad_math [ 20 май 2013, 19:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей |
Сначала представьте знаменатели дробей в виде произведения. Для этого нужно знать формулу разности квадратов. |
|
| Автор: | afraumar [ 20 май 2013, 19:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей |
да, понимаю, сделала для обоих случаев, а теперь мне нужно подобрать какие-то цифры в числитель, вот на этом и остановилась (х-1)(х+1) и (х-6)(х+6) При этом во втором случае х+28 х всего один, а в знаменателе их два и при этом у нас сложение - не пойму, какие цифры позволят получить в числителе один х Не понимаю алгоритм ( Я посмотрела Mathtype, но это платная программа. Может быть потом куплю. Извините, пока без нее. |
|
| Автор: | afraumar [ 20 май 2013, 19:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей |
я вначале разложила оба знаменателя и потом написала соотвествующие выражения в числителе, чтобы понять, какие цифры мне нужны для получения искомого выражения то есть А(х+1) / (х-1) + B(х-1) / (х+1) и теперь пытаюсь понять, как найти А и В тоже самое во втором случае |
|
| Автор: | slog [ 20 май 2013, 19:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей |
Эх, приравняйте коэффициенты при равных степенях, получите A и B. [math]1)\, \frac{4x+3}{x^2-1}= \frac{ A }{ x+1 }+ \frac{B }{ x-1 } =\frac{ A(x-1) +B(x+1)}{ x^2-1 }[/math] То есть [math]\left\{\!\begin{aligned}& 4=A+B, \\& 3=A-B. \end{aligned}\right.[/math] Абсолютно также со вторым. |
|
| Автор: | mad_math [ 20 май 2013, 19:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей |
afraumar писал(а): то есть Не совсем верно:А(х+1) / (х-1) + B(х-1) / (х+1) и теперь пытаюсь понять, как найти А и В [math]\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}[/math] Теперь есть два способа: 1) Привести подобные в числителе: [math](A+B)x+(A-B)[/math], а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в числителях данной вам дроби и той, которая с неизвестными коэффициентами, т.е. у первоначальной дроби в числителе [math]4x+3[/math], с неизвестными коэффициентами [math](A+B)x+(A-B)[/math], приравниваем то, что при [math]x[/math] и то, что остаётся свободным членом, получим систему: [math]\left\{\!\begin{aligned}& A+B=4 \\ & A-B=3 \end{aligned}\right.[/math] Решив систему, найдёте [math]A[/math] и [math]B[/math] 2) Можно поступить проще. Но этот способ не для всех видов дробей подходит. Мы получили тождество [math]\frac{4x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}[/math] Знаменатели одинаковые, следовательно, нам нужно добиться равенства числителей: [math]4x+3=A(x+1)+B(x-1)[/math] А теперь по очереди подставим нули знаменателя в это равенство: [math]x=1[/math] [math]4\cdot 1+3=A(1+1)+B(1-1)\Rightarrow 7=2A\Rightarrow A=\frac{7}{2}[/math] [math]x=-1[/math] [math]4\cdot (-1)+3=A(-1+1)+B(-1-1)\Rightarrow -1=-2B\Rightarrow B=\frac{1}{2}[/math] |
|
| Автор: | afraumar [ 20 май 2013, 19:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей |
slog писал(а): Эх, приравняйте коэффициенты при равных степенях, получите A и B. [math]1)\, \frac{4x+3}{x^2-1}= \frac{ A }{ x+1 }+ \frac{B }{ x-1 } =\frac{ A(x-1) +B(x+1)}{ x^2-1 }[/math] То есть [math]\left\{\!\begin{aligned}& 4=A+B, \\& 3=A-B. \end{aligned}\right.[/math] Абсолютно также со вторым. немного терпения - пожалуйста, объясните, почему так? почему а+в = 4 и а-в=3? потому что в знаменателе х+1 и х-1? а если бы было х+1 и х+1, то есть два плюса в знаменателе? |
|
| Автор: | afraumar [ 20 май 2013, 20:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей |
mad_math писал(а): afraumar писал(а): то есть Не совсем верно:А(х+1) / (х-1) + B(х-1) / (х+1) и теперь пытаюсь понять, как найти А и В [math]\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}[/math] Теперь есть два способа: 1) Привести подобные в числителе: [math](A+B)x+(A-B)[/math], а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в числителях данной вам дроби и той, которая с неизвестными коэффициентами, т.е. у первоначальной дроби в числителе [math]4x+3[/math], с неизвестными коэффициентами [math](A+B)x+(A-B)[/math], приравниваем то, что при [math]x[/math] и то, что остаётся свободным членом, получим систему: [math]\left\{\!\begin{aligned}& A+B=4 \\ & A-B=3 \end{aligned}\right.[/math] Решив систему, найдёте [math]A[/math] и [math]B[/math] 2) Можно поступить проще. Но этот способ не для всех видов дробей подходит. Мы получили тождество [math]\frac{4x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}[/math] Знаменатели одинаковые, следовательно, нам нужно добиться равенства числителей: [math]4x+3=A(x+1)+B(x-1)[/math] А теперь по очереди подставим нули знаменателя в это равенство: [math]x=1[/math] [math]4\cdot 1+3=A(1+1)+B(1-1)\Rightarrow 7=2A\Rightarrow A=\frac{7}{2}[/math] [math]x=-1[/math] [math]4\cdot (-1)+3=A(-1+1)+B(-1-1)\Rightarrow -1=-2B\Rightarrow B=\frac{1}{2}[/math] Спасибо! Я поняла! Теперь смогу все другие решить. Спасибо! |
|
| Автор: | slog [ 20 май 2013, 20:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей |
mad_math afraumar У вас равны знаменатели, чтобы дроби были равны, нужно равенство числителей. В числителе полином. Полиномы называются равными в том случае, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях |
|
| Автор: | afraumar [ 20 май 2013, 20:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей |
slog писал(а): mad_math afraumar У вас равны знаменатели, чтобы дроби были равны, нужно равенство числителей. В числителе полином. Полиномы называются равными в том случае, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях да да! я все поняла из предыдущего поста ))) спасибо! |
|
| Страница 1 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|