Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Представить дробь в виде суммы двух дробей
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=24463
Страница 1 из 3

Автор:  afraumar [ 20 май 2013, 19:26 ]
Заголовок сообщения:  Представить дробь в виде суммы двух дробей

Добрый день!

Пожалуйста, объясните, способы "Представить дробь в виде суммы двух дробей, знаменатели которых - многочлены первой степени относительно х:

[math]1)\, \frac{4x+3}{x^2-1}[/math]

[math]2)\, \frac{x+28}{x^2-36}[/math]

Спасибо!

Автор:  mad_math [ 20 май 2013, 19:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей

Сначала представьте знаменатели дробей в виде произведения. Для этого нужно знать формулу разности квадратов.

Автор:  afraumar [ 20 май 2013, 19:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей

да, понимаю, сделала для обоих случаев, а теперь мне нужно подобрать какие-то цифры в числитель, вот на этом и остановилась
(х-1)(х+1) и (х-6)(х+6)

При этом во втором случае х+28 х всего один, а в знаменателе их два и при этом у нас сложение - не пойму, какие цифры позволят получить в числителе один х

Не понимаю алгоритм (

Я посмотрела Mathtype, но это платная программа. Может быть потом куплю. Извините, пока без нее.

Автор:  afraumar [ 20 май 2013, 19:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей

я вначале разложила оба знаменателя и потом написала соотвествующие выражения в числителе, чтобы понять, какие цифры мне нужны для получения искомого выражения

то есть
А(х+1) / (х-1) + B(х-1) / (х+1) и теперь пытаюсь понять, как найти А и В

тоже самое во втором случае

Автор:  slog [ 20 май 2013, 19:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей

Эх, приравняйте коэффициенты при равных степенях, получите A и B.


[math]1)\, \frac{4x+3}{x^2-1}= \frac{ A }{ x+1 }+ \frac{B }{ x-1 } =\frac{ A(x-1) +B(x+1)}{ x^2-1 }[/math]
То есть
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 4=A+B, \\& 3=A-B. \end{aligned}\right.[/math]
Абсолютно также со вторым.

Автор:  mad_math [ 20 май 2013, 19:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей

afraumar писал(а):
то есть
А(х+1) / (х-1) + B(х-1) / (х+1) и теперь пытаюсь понять, как найти А и В
Не совсем верно:
[math]\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}[/math]
Теперь есть два способа:
1) Привести подобные в числителе: [math](A+B)x+(A-B)[/math], а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в числителях данной вам дроби и той, которая с неизвестными коэффициентами, т.е. у первоначальной дроби в числителе [math]4x+3[/math], с неизвестными коэффициентами [math](A+B)x+(A-B)[/math], приравниваем то, что при [math]x[/math] и то, что остаётся свободным членом, получим систему:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& A+B=4 \\ & A-B=3 \end{aligned}\right.[/math]
Решив систему, найдёте [math]A[/math] и [math]B[/math]

2) Можно поступить проще. Но этот способ не для всех видов дробей подходит.
Мы получили тождество [math]\frac{4x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}[/math]
Знаменатели одинаковые, следовательно, нам нужно добиться равенства числителей:
[math]4x+3=A(x+1)+B(x-1)[/math]
А теперь по очереди подставим нули знаменателя в это равенство:
[math]x=1[/math]
[math]4\cdot 1+3=A(1+1)+B(1-1)\Rightarrow 7=2A\Rightarrow A=\frac{7}{2}[/math]

[math]x=-1[/math]
[math]4\cdot (-1)+3=A(-1+1)+B(-1-1)\Rightarrow -1=-2B\Rightarrow B=\frac{1}{2}[/math]

Автор:  afraumar [ 20 май 2013, 19:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей

slog писал(а):
Эх, приравняйте коэффициенты при равных степенях, получите A и B.


[math]1)\, \frac{4x+3}{x^2-1}= \frac{ A }{ x+1 }+ \frac{B }{ x-1 } =\frac{ A(x-1) +B(x+1)}{ x^2-1 }[/math]
То есть
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 4=A+B, \\& 3=A-B. \end{aligned}\right.[/math]
Абсолютно также со вторым.


немного терпения - пожалуйста, объясните, почему так? почему а+в = 4 и а-в=3? потому что в знаменателе х+1 и х-1?
а если бы было х+1 и х+1, то есть два плюса в знаменателе?

Автор:  afraumar [ 20 май 2013, 20:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей

mad_math писал(а):
afraumar писал(а):
то есть
А(х+1) / (х-1) + B(х-1) / (х+1) и теперь пытаюсь понять, как найти А и В
Не совсем верно:
[math]\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}[/math]
Теперь есть два способа:
1) Привести подобные в числителе: [math](A+B)x+(A-B)[/math], а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в числителях данной вам дроби и той, которая с неизвестными коэффициентами, т.е. у первоначальной дроби в числителе [math]4x+3[/math], с неизвестными коэффициентами [math](A+B)x+(A-B)[/math], приравниваем то, что при [math]x[/math] и то, что остаётся свободным членом, получим систему:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& A+B=4 \\ & A-B=3 \end{aligned}\right.[/math]
Решив систему, найдёте [math]A[/math] и [math]B[/math]

2) Можно поступить проще. Но этот способ не для всех видов дробей подходит.
Мы получили тождество [math]\frac{4x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}[/math]
Знаменатели одинаковые, следовательно, нам нужно добиться равенства числителей:
[math]4x+3=A(x+1)+B(x-1)[/math]
А теперь по очереди подставим нули знаменателя в это равенство:
[math]x=1[/math]
[math]4\cdot 1+3=A(1+1)+B(1-1)\Rightarrow 7=2A\Rightarrow A=\frac{7}{2}[/math]

[math]x=-1[/math]
[math]4\cdot (-1)+3=A(-1+1)+B(-1-1)\Rightarrow -1=-2B\Rightarrow B=\frac{1}{2}[/math]

Спасибо! Я поняла! Теперь смогу все другие решить. Спасибо!

Автор:  slog [ 20 май 2013, 20:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей

mad_math
Сопряженные посты :D1

afraumar
У вас равны знаменатели, чтобы дроби были равны, нужно равенство числителей. В числителе полином. Полиномы называются равными в том случае, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях

Автор:  afraumar [ 20 май 2013, 20:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представить дробь в виде суммы двух дробей

slog писал(а):
mad_math
Сопряженные посты :D1

afraumar
У вас равны знаменатели, чтобы дроби были равны, нужно равенство числителей. В числителе полином. Полиномы называются равными в том случае, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях


да да! я все поняла из предыдущего поста ))) спасибо!

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/