Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать что неравенство верно
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=22951
Страница 1 из 1

Автор:  Lotesse [ 26 мар 2013, 21:59 ]
Заголовок сообщения:  Доказать что неравенство верно

Боремся с этой задачей всей семьей,уже 2-ой день. Я в 8-ом классе, и решение через производные, графики и т.д. не пойдут))

[math]3x^2+y^2-2xy+8x+4y+22\geqslant 0[/math]

Заранее благодарю)

Автор:  Uncle Fedor [ 26 мар 2013, 22:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать что неравенство верно

Рассмотрите данное выражение как квадратный трёхчлен относительно переменной [math]y[/math] и найдите его дискриминант. У вас получится, что старший коэффициент квадратного трёхчлена положительный, а дискриминант не положительный. Следовательно, данный квадратный трёхчлен принимает только неотрицательные значения.

Также можно воспользоваться формулой (метод выделения полного квадрата):

[math]a{y^2} + by + c = a{\left( {y + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{D}{{4a}}[/math], где [math]D = {b^2} - 4ac[/math] .

Автор:  MihailM [ 26 мар 2013, 23:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать что неравенство верно

выделяем полные квадраты, это хорошая задача как не выделяй все все равно придешь куда надо.
Начинаем [math](y-x)^2[/math]
понятно что еще надо 4y туда засунуть (8x должно убиться [math]2x^2[/math]-ом)
получаем [math](y-x+2)^2[/math], дальше очевидно

Автор:  Alexdemath [ 27 мар 2013, 01:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать что неравенство верно

В подобных задачах часто в первую очередь избавляются от произведения неизвестных. То есть нужно выделить полный квадрат по [math]x[/math] и [math]y[/math] и сделать замену [math]\begin{cases}x=u,\\ x-y=v\end{cases}[/math]

[math]\begin{gathered}3{x^2}+{y^2}- 2xy + 8x + 4y + 22 \\ \Updownarrow \\ 2{x^2}+{x^2}- 2xy +{y^2}+ 8x + 4y + 22 \\ \Updownarrow \\ 2{x^2}+{(x - y)^2}+ 8x + 4y + 22 \\ \left\{\begin{gathered}x = u, \hfill \\ x - y = v; \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}x = u, \hfill \\ y = u - v. \hfill \\ \end{gathered}\right. \\ 2{u^2}+{v^2}+ 8u + 4(u - v) + 22 \\ \Updownarrow \\ 2{u^2}+{v^2}+ 12u - 4v + 22 \\ \Updownarrow \\ 2({u^2}+ 6u + 9) +{v^2}- 4v + 4 \\ \Updownarrow \\ 2{(u + 3)^2}+{(v - 2)^2}\\ \Updownarrow \\ 2{(x + 3)^2}+{(x - y - 2)^2}\\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Uncle Fedor [ 27 мар 2013, 07:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать что неравенство верно

Преобразуем левую часть данного неравенства:

[math]3{x^2} + {y^2} - 2xy + 8x + 4y + 22 = {y^2} + \left( {4y - 2xy} \right) + 3{x^2} + 8x + 22 = \underbrace 1_a \cdot {y^2} + \underbrace {\left( {4 - 2x} \right)}_by + \underbrace {\left( {3{x^2} + 8x + 22} \right)}_c[/math].
Рассмотрим полученное выражение как квадратный трёхчлен относительно переменной [math]y[/math] и выделим из него полный квадрат, пользуясь формулой

[math]a{y^2} + by + c = a{\left( {y + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{D}{{4a}}[/math] , где [math]D = {b^2} - 4ac[/math] - дискриминант квадратного трёхчлена.
[math]D = {\left( {4 - 2x} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3{x^2} + 8x + 22} \right) = 16 - 16x + 4{x^2} - 12{x^2} - 32x - 88 = - 8{x^2} - 48x - 72 = - 8\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = - 8{\left( {x + 3} \right)^2}[/math]
Следовательно, [math]\underbrace 1_a \cdot {y^2} + \underbrace {\left( {4 - 2x} \right)}_by + \underbrace {\left( {3{x^2} + 8x + 22} \right)}_c = a \cdot {\left( {y + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{D}{{4a}} = 1 \cdot {\left( {y + \frac{{4 - 2x}}{2}} \right)^2} + \frac{{8{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{4} =[/math]
[math]= 1 \cdot {\left( {y + \frac{{2\left( {2 - x} \right)}}{2}} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} = {\left( {y + 2 - x} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} = {\left( {y - x + 2} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0[/math].

Автор:  Alexdemath [ 27 мар 2013, 12:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать что неравенство верно

Uncle Fedor писал(а):
[math](y - x + 2)^2 + 2(x + 3)^2\ge 0[/math]

Вроде опечатка в [math](y - x + 2)^2[/math].

Автор:  Uncle Fedor [ 27 мар 2013, 12:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать что неравенство верно

Alexdemath писал(а):
Uncle Fedor писал(а):
[math](y - x + 2)^2 + 2(x + 3)^2\ge 0[/math]

Вроде опечатка в [math](y - x + 2)^2[/math].

Нет никакой опечатки, у нас с Вами получились одинаковые выражения.

[math]{\left( {y - x + 2} \right)^2} = {\left( { - 1 \cdot \left( {x - y - 2} \right)} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {\left( {x - y - 2} \right)^2} = {\left( {x - y - 2} \right)^2}[/math].

Автор:  Alexdemath [ 27 мар 2013, 13:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать что неравенство верно

Uncle Fedor

Ой, действительно одно и тоже.

Я что-то перепутал в вашем выражении [math]x[/math] и [math]y[/math] :oops:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/