Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Необычные уравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=22821
Страница 1 из 1

Автор:  Sviatoslav [ 22 мар 2013, 12:44 ]
Заголовок сообщения:  Необычные уравнения

Подскажите пожалуйста принцип решения следующих двух уравнений:
[math]\left\{x \right\}= \frac{1}{x}[/math]
и
[math]{x^2}+ \left[ x \right] = 4[/math]

Никогда с такими не сталкивался. Если дадите ссылочку на похожие разобранные уравнения, будет просто замечательно. А то я, честно говоря, не знаю, как и искать то...

Автор:  Prokop [ 22 мар 2013, 13:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Необычные уравнения

Очень помогают графики. Например, в первой задаче график подсказывает, что решение надо искать в виде
[math]x=n+\left\{x \right\}[/math], где [math]n \in Z[/math].
Во второй задаче график подсказывает, где расположены корни.

Автор:  andrei [ 22 мар 2013, 14:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Необычные уравнения

Хорошо помогает равенство [math]x=\left[ x \right]+\left\{ x \right\}[/math]

Автор:  Sviatoslav [ 22 мар 2013, 19:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Необычные уравнения

Prokop, спасибо за подсказку. Вы написали, что решение надо искать в виде [math]x = n + \left\{x \right\}[/math], но ведь это равносильно [math]n = \left[ x \right][/math], что, на сколько я понимаю, следует из определения числа [math]\left[ x \right][/math]. Как это поможет найти то множество корней, которое нам нужно?

Автор:  Sviatoslav [ 22 мар 2013, 19:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Необычные уравнения

А во втором уравнении графики действительно очень помогли: уравнение имеет два корня и они располагаются в промежутках [math]\left({- 3; - 2}\right)[/math] и [math]\left({1;2}\right)[/math]. Но как найти их точное значение?

Автор:  mad_math [ 22 мар 2013, 19:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Необычные уравнения

На промежутке [math](1;2)[/math] получаем [math]4-\left[x\right]=4-1=3[/math], следовательно [math]x^2=3[/math].
Аналогично, на [math](-3;-2)[/math] получим [math]4-\left[x\right]=4-(-3)=7[/math], [math]x^2=7[/math].
Чтобы выбрать один корень, нужно учесть промежуток, на котором он находится.

Автор:  Human [ 22 мар 2013, 20:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Необычные уравнения

1. Подставив [math]x=n+\{x\}[/math], где [math]n\in\mathbb{Z}[/math], и разрешив квадратное уравнение, получим

[math]\{x\}=\frac{-n\pm\sqrt{n^2+4}}2[/math]

Теперь вспоминаем, что [math]0\leqslant\{x\}<1[/math]. Для корня с плюсом это неравенство выполняется при [math]n\geqslant1[/math], поэтому ответ

[math]x=n+\frac{-n+\sqrt{n^2+4}}2=\frac{\sqrt{n^2+4}+n}2,\ n\in\mathbb{N}[/math]

Для корня с минусом неравенство не выполняется ни при каких [math]n[/math].

Автор:  Sviatoslav [ 22 мар 2013, 20:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Необычные уравнения

mad_math, Human, спасибо Вам большое, принцип решения таких уравнений ясен.
Теперь буду хвастаться, что знаю антье (одно слово то какое, произнесешь и сразу умным покажешься) :oops:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/