Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

"Богатые" числа
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=22734
Страница 1 из 2

Автор:  paradise [ 19 мар 2013, 15:38 ]
Заголовок сообщения:  "Богатые" числа

Условие: Назовём натуральное число n богатым, если сумма всех его натуральных делителей больше 2n. Например, число 12 является богатым, так как 1+2+3+4+5+6+12 > 24. Каким не может быть богатое число?
а) точным квадратом
б) числом, кратным 2013
в) больше миллиона
г) степенью числа 3
д) каждое из свойств а)-г) возможно.

Мои размышления:

Первым делом стала смотреть квадраты.
[math]1 + 2 + 4 < 2 \cdot 4 \Rightarrow 7 < 8[/math] - не богатое
[math]1 + 3 + 9 < 2 \cdot 9 \Rightarrow 13 < 18[/math] - не богатое
[math]1 + 2 + 4 + 8 +16 < 2 \cdot 16 \Rightarrow 31 < 32[/math] - не богатое
[math]1 + 5 + 25 < 2 \cdot 25 \Rightarrow 31 < 50[/math] - не богатое
Делаем вывод, что квадрат не может быть богатым числом.
-----------------
Смотрю степень 3ки:
[math]1 + 3 < 2 \cdot 3 \Rightarrow 4 < 6[/math] - не богатое
[math]1 + 3 + 9 < 2 \cdot 9 \Rightarrow 13 < 18[/math] - не богатое
[math]1 + 3 + 9 + 27 < 2 \cdot 27 \Rightarrow 40 < 54[/math] - не богатое
[math]1 + 3 + 9 + 27 + 81 < 2 \cdot 81 \Rightarrow 121 < 162[/math] - не богатое
Делаем вывод, что богатое число не может быть степенью тройки.

На вот этом этапе я бы остановилась и выбрала ответ д)
Но меня смущает б) и в). Как корректно проверить? Подскажите, пожалуйста :(

Автор:  andrei [ 19 мар 2013, 21:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: "Богатые" числа

[math]36=2^{2}3^{2} \quad \sum d|36= \frac{ 2^{3}-1 }{ 2-1 } \frac{ 3^{3}-1 }{ 3-1 }=7 \cdot 13=91 \quad 91>2 \cdot 36[/math]
[math]216=2^{3}3^{3} \quad \sum d|216= \frac{ 2^{4}-1 }{ 2-1 } \frac{ 3^{4}-1 }{ 3-1 }=15 \cdot 40=600 \quad 600>2 \cdot 216[/math]
[math]10 000 000=2^{7} \cdot 5^{7} \quad \sum d|10 000 000= \frac{ 2^{8}-1 }{ 2-1 } \frac{ 5^{8}-1 }{ 5-1 }=255 \cdot 97656= 24 902 280 \qquad 24902280>2 \cdot 10 000 000[/math]
С числом 2013 неохота заморачиваться. :)

Автор:  andrei [ 19 мар 2013, 21:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: "Богатые" числа

Скорее всего это будет число [math]2013^{2}[/math]

Автор:  paradise [ 19 мар 2013, 22:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: "Богатые" числа

andrei писал(а):
[math]36=2^{2}3^{2} \quad \sum d|36= \frac{ 2^{3}-1 }{ 2-1 } \frac{ 3^{3}-1 }{ 3-1 }=7 \cdot 13=91 \quad 91>2 \cdot 36[/math]
[math]216=2^{3}3^{3} \quad \sum d|216= \frac{ 2^{4}-1 }{ 2-1 } \frac{ 3^{4}-1 }{ 3-1 }=15 \cdot 40=600 \quad 600>2 \cdot 216[/math]
[math]10 000 000=2^{7} \cdot 5^{7} \quad \sum d|10 000 000= \frac{ 2^{8}-1 }{ 2-1 } \frac{ 5^{8}-1 }{ 5-1 }=255 \cdot 97656= 24 902 280 \qquad 24902280>2 \cdot 10 000 000[/math]
С числом 2013 неохота заморачиваться. :)


что-то я не уловила с числом 36. Делители: [math]1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36[/math]
Получается, [math]82 > 2 \cdot 36[/math], т.е. получается, что богатое число может быть квадратом?

Автор:  andrei [ 19 мар 2013, 22:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: "Богатые" числа

Еще делитель 9 забыли :) Получается,что может.

Автор:  paradise [ 19 мар 2013, 22:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: "Богатые" числа

andrei писал(а):
Еще делитель 9 забыли :) Получается,что может.


Ай, точно, забыла :oops:
Получается, что все-таки только степень тройки не подходит нам?

Автор:  andrei [ 19 мар 2013, 23:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: "Богатые" числа

Я же привел как образец степень куба во второй строке.

Автор:  paradise [ 19 мар 2013, 23:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: "Богатые" числа

andrei писал(а):
Я же привел как образец степень куба во второй строке.


так, стоп-стоп... в условии говорится, что нужно проверить степени числа 3.
Вы мне показали во второй строке кубическую степень произведения 2 и 3.
Я думала, что мы рассматриваем числа 3, 9, 27, 81, 243 и т.д. Я что-то неверно поняла?

Автор:  andrei [ 20 мар 2013, 11:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: "Богатые" числа

Ага,это я что-то переклинил и не так понял условие :D1 А так Вы правы-степень тройки не подходит.

Автор:  paradise [ 20 мар 2013, 11:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: "Богатые" числа

andrei писал(а):
Ага,это я что-то переклинил и не так понял условие :D1 А так Вы правы-степень тройки не подходит.


Отлично)) Спасибо за помощь :Rose: :Rose: :Rose: :wink:

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/