| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| "Богатые" числа http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=22734 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | paradise [ 19 мар 2013, 15:38 ] |
| Заголовок сообщения: | "Богатые" числа |
Условие: Назовём натуральное число n богатым, если сумма всех его натуральных делителей больше 2n. Например, число 12 является богатым, так как 1+2+3+4+5+6+12 > 24. Каким не может быть богатое число? а) точным квадратом б) числом, кратным 2013 в) больше миллиона г) степенью числа 3 д) каждое из свойств а)-г) возможно. Мои размышления: Первым делом стала смотреть квадраты. [math]1 + 2 + 4 < 2 \cdot 4 \Rightarrow 7 < 8[/math] - не богатое [math]1 + 3 + 9 < 2 \cdot 9 \Rightarrow 13 < 18[/math] - не богатое [math]1 + 2 + 4 + 8 +16 < 2 \cdot 16 \Rightarrow 31 < 32[/math] - не богатое [math]1 + 5 + 25 < 2 \cdot 25 \Rightarrow 31 < 50[/math] - не богатое Делаем вывод, что квадрат не может быть богатым числом. ----------------- Смотрю степень 3ки: [math]1 + 3 < 2 \cdot 3 \Rightarrow 4 < 6[/math] - не богатое [math]1 + 3 + 9 < 2 \cdot 9 \Rightarrow 13 < 18[/math] - не богатое [math]1 + 3 + 9 + 27 < 2 \cdot 27 \Rightarrow 40 < 54[/math] - не богатое [math]1 + 3 + 9 + 27 + 81 < 2 \cdot 81 \Rightarrow 121 < 162[/math] - не богатое Делаем вывод, что богатое число не может быть степенью тройки. На вот этом этапе я бы остановилась и выбрала ответ д) Но меня смущает б) и в). Как корректно проверить? Подскажите, пожалуйста
|
|
| Автор: | andrei [ 19 мар 2013, 21:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: "Богатые" числа |
[math]36=2^{2}3^{2} \quad \sum d|36= \frac{ 2^{3}-1 }{ 2-1 } \frac{ 3^{3}-1 }{ 3-1 }=7 \cdot 13=91 \quad 91>2 \cdot 36[/math] [math]216=2^{3}3^{3} \quad \sum d|216= \frac{ 2^{4}-1 }{ 2-1 } \frac{ 3^{4}-1 }{ 3-1 }=15 \cdot 40=600 \quad 600>2 \cdot 216[/math] [math]10 000 000=2^{7} \cdot 5^{7} \quad \sum d|10 000 000= \frac{ 2^{8}-1 }{ 2-1 } \frac{ 5^{8}-1 }{ 5-1 }=255 \cdot 97656= 24 902 280 \qquad 24902280>2 \cdot 10 000 000[/math] С числом 2013 неохота заморачиваться.
|
|
| Автор: | andrei [ 19 мар 2013, 21:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: "Богатые" числа |
Скорее всего это будет число [math]2013^{2}[/math] |
|
| Автор: | paradise [ 19 мар 2013, 22:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: "Богатые" числа |
andrei писал(а): [math]36=2^{2}3^{2} \quad \sum d|36= \frac{ 2^{3}-1 }{ 2-1 } \frac{ 3^{3}-1 }{ 3-1 }=7 \cdot 13=91 \quad 91>2 \cdot 36[/math] [math]216=2^{3}3^{3} \quad \sum d|216= \frac{ 2^{4}-1 }{ 2-1 } \frac{ 3^{4}-1 }{ 3-1 }=15 \cdot 40=600 \quad 600>2 \cdot 216[/math] [math]10 000 000=2^{7} \cdot 5^{7} \quad \sum d|10 000 000= \frac{ 2^{8}-1 }{ 2-1 } \frac{ 5^{8}-1 }{ 5-1 }=255 \cdot 97656= 24 902 280 \qquad 24902280>2 \cdot 10 000 000[/math] С числом 2013 неохота заморачиваться. ![]() что-то я не уловила с числом 36. Делители: [math]1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36[/math] Получается, [math]82 > 2 \cdot 36[/math], т.е. получается, что богатое число может быть квадратом? |
|
| Автор: | andrei [ 19 мар 2013, 22:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: "Богатые" числа |
Еще делитель 9 забыли Получается,что может.
|
|
| Автор: | paradise [ 19 мар 2013, 22:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: "Богатые" числа |
andrei писал(а): Еще делитель 9 забыли Получается,что может.Ай, точно, забыла Получается, что все-таки только степень тройки не подходит нам? |
|
| Автор: | andrei [ 19 мар 2013, 23:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: "Богатые" числа |
Я же привел как образец степень куба во второй строке. |
|
| Автор: | paradise [ 19 мар 2013, 23:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: "Богатые" числа |
andrei писал(а): Я же привел как образец степень куба во второй строке. так, стоп-стоп... в условии говорится, что нужно проверить степени числа 3. Вы мне показали во второй строке кубическую степень произведения 2 и 3. Я думала, что мы рассматриваем числа 3, 9, 27, 81, 243 и т.д. Я что-то неверно поняла? |
|
| Автор: | andrei [ 20 мар 2013, 11:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: "Богатые" числа |
Ага,это я что-то переклинил и не так понял условие А так Вы правы-степень тройки не подходит.
|
|
| Автор: | paradise [ 20 мар 2013, 11:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: "Богатые" числа |
andrei писал(а): Ага,это я что-то переклинил и не так понял условие А так Вы правы-степень тройки не подходит.Отлично)) Спасибо за помощь
|
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|