| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Логарифмические неравенства http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=22496 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Dawerlath [ 10 мар 2013, 05:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Логарифмические неравенства |
1. [math]\log_{\frac{1}{3}}{x}\ >\ \log_{x}{3}- \frac{5}{2}[/math] Привожу к общему основанию, заменяю [math]\log_{\frac{1}{3}}{x}[/math] на t, получается ответ [math]x \in (\sqrt{3}, \ 9)[/math], но правильный ответ: [math]x \in (0,\ 1) \cup (\sqrt{3}, \ 9)[/math]. Как получить первый отрезок? 2. [math]|x-2|^{2\sqrt{x+1}} < |x-2|^{x-3}[/math] |
|
| Автор: | Analitik [ 10 мар 2013, 06:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмические неравенства |
Dawerlath Мой ответ совпал с правильным. Выложите Ваше решение полностью, пожалуйста! И будем искать, где Вы потеряли первый интервал. |
|
| Автор: | Dawerlath [ 10 мар 2013, 06:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмические неравенства |
ОДЗ: [math]x \in (0,1) \cup (1, + \infty )[/math] [math]\log_{\frac{1}{3}}{x}\ >\ \log_{x}{3}- \frac{5}{2}[/math] [math]\log_{\frac{1}{3}}{x}\ >\ - \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}{x}}- \frac{5}{2}[/math] [math]t = \log_{\frac{1}{3}}{x}[/math] Преобразование к квадратному уравнению: [math]2t^2 + 5t + 2 > 0[/math] [math]t_{1} = -2[/math] [math]t_{2} = -\frac{1}{2}[/math] [math]t \in (- \infty , -2) \cup (-\frac{1}{2}, + \infty )[/math] [math]\log_{\frac{1}{3}}{x} < -2[/math] [math]x < 9[/math] [math]\log_{\frac{1}{3}}{x} > -\frac{1}{2}[/math] [math]x > \sqrt{3}[/math] [math]x \in (\sqrt{3}, 9)[/math] А первый интервал не знаю, как получить. |
|
| Автор: | Analitik [ 10 мар 2013, 07:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмические неравенства |
Dawerlath Когда Вы заменяете исходное неравенство на квадратное, Вы это делаете автоматически не задумываясь над математическим смыслом операции. А происходим умножение на [math]t[/math], ну или в Вашем случае на [math]2t[/math]. Таким образом Вы должны учесть, если [math]t<0[/math], то неравенство сменит знак. Т.е. Вы должны решать две системы неравенств: [math]\left\{\!\begin{aligned}& 2t^2+5t+1<0 \\ & t<0 \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned}& 2t^2+5t+1>0 \\ & t>0 \end{aligned}\right.[/math] |
|
| Автор: | Dawerlath [ 10 мар 2013, 07:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмические неравенства |
Спасибо, ещё вопрос: у меня правильное ОДЗ? Просто когда [math]t < 0[/math], получается, что [math]x \in (- \infty , \sqrt{3}) \cup (9, + \infty )[/math] и когда пересекаем с ОДЗ, получается не один интервал, а два: [math](0, 1)[/math] и [math](9, + \infty )[/math], а должен получиться только [math](0, 1)[/math]. |
|
| Автор: | Dawerlath [ 10 мар 2013, 13:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмические неравенства |
Или второй корень исключается после проверки? |
|
| Автор: | Analitik [ 10 мар 2013, 18:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмические неравенства |
Dawerlath А Вы учли, что у Вас основание логарифма меньше 1? |
|
| Автор: | pewpimkin [ 11 мар 2013, 17:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмические неравенства |
|
|
| Автор: | Dawerlath [ 11 мар 2013, 18:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмические неравенства |
Спасибо всем! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|