Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Логарифмические неравенства
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=22496
Страница 1 из 1

Автор:  Dawerlath [ 10 мар 2013, 05:55 ]
Заголовок сообщения:  Логарифмические неравенства

1. [math]\log_{\frac{1}{3}}{x}\ >\ \log_{x}{3}- \frac{5}{2}[/math]
Привожу к общему основанию, заменяю [math]\log_{\frac{1}{3}}{x}[/math] на t, получается ответ [math]x \in (\sqrt{3}, \ 9)[/math], но правильный ответ: [math]x \in (0,\ 1) \cup (\sqrt{3}, \ 9)[/math]. Как получить первый отрезок?
2. [math]|x-2|^{2\sqrt{x+1}} < |x-2|^{x-3}[/math]

Автор:  Analitik [ 10 мар 2013, 06:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмические неравенства

Dawerlath
Мой ответ совпал с правильным.

Выложите Ваше решение полностью, пожалуйста! И будем искать, где Вы потеряли первый интервал.

Автор:  Dawerlath [ 10 мар 2013, 06:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмические неравенства

ОДЗ: [math]x \in (0,1) \cup (1, + \infty )[/math]
[math]\log_{\frac{1}{3}}{x}\ >\ \log_{x}{3}- \frac{5}{2}[/math]
[math]\log_{\frac{1}{3}}{x}\ >\ - \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}{x}}- \frac{5}{2}[/math]
[math]t = \log_{\frac{1}{3}}{x}[/math]
Преобразование к квадратному уравнению:
[math]2t^2 + 5t + 2 > 0[/math]

[math]t_{1} = -2[/math]

[math]t_{2} = -\frac{1}{2}[/math]
[math]t \in (- \infty , -2) \cup (-\frac{1}{2}, + \infty )[/math]
[math]\log_{\frac{1}{3}}{x} < -2[/math]
[math]x < 9[/math]
[math]\log_{\frac{1}{3}}{x} > -\frac{1}{2}[/math]
[math]x > \sqrt{3}[/math]
[math]x \in (\sqrt{3}, 9)[/math]
А первый интервал не знаю, как получить.

Автор:  Analitik [ 10 мар 2013, 07:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмические неравенства

Dawerlath
Когда Вы заменяете исходное неравенство на квадратное, Вы это делаете автоматически не задумываясь над математическим смыслом операции.
А происходим умножение на [math]t[/math], ну или в Вашем случае на [math]2t[/math]. Таким образом Вы должны учесть, если [math]t<0[/math], то неравенство сменит знак. Т.е. Вы должны решать две системы неравенств:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 2t^2+5t+1<0 \\ & t<0 \end{aligned}\right.[/math]
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 2t^2+5t+1>0 \\ & t>0 \end{aligned}\right.[/math]

Автор:  Dawerlath [ 10 мар 2013, 07:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмические неравенства

Спасибо, ещё вопрос: у меня правильное ОДЗ?
Просто когда [math]t < 0[/math], получается, что [math]x \in (- \infty , \sqrt{3}) \cup (9, + \infty )[/math] и когда пересекаем с ОДЗ, получается не один интервал, а два: [math](0, 1)[/math] и [math](9, + \infty )[/math], а должен получиться только [math](0, 1)[/math].

Автор:  Dawerlath [ 10 мар 2013, 13:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмические неравенства

Или второй корень исключается после проверки?

Автор:  Analitik [ 10 мар 2013, 18:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмические неравенства

Dawerlath
А Вы учли, что у Вас основание логарифма меньше 1?

Автор:  pewpimkin [ 11 мар 2013, 17:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмические неравенства

Изображение

Автор:  Dawerlath [ 11 мар 2013, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмические неравенства

Спасибо всем!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/