Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать, что несократимая дробь не может быть корнем
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=22438
Страница 1 из 1

Автор:  Toshikarik [ 06 мар 2013, 03:09 ]
Заголовок сообщения:  Доказать, что несократимая дробь не может быть корнем

Здравствуйте. Есть такое задание:
Докажите, что несократимая дробь [math]\frac{a}{b}[/math] где [math]a \in Z, b \in N[/math] и [math]b \ne 1[/math], не может быть корнем уравнения [math]7x^{3} - 10x^{2} + 12x - 1 = 0[/math]
Подскажите, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю:
[math]7x^{3} - 10x^{2} + 12x - 1 = 0 \Rightarrow x \cdot ( 7x^{ 2 } - 10x + 12 ) - 1 = 0 \Rightarrow \frac{a \cdot ( 7 \frac{a^{2}}{b^{2}}- 10 \frac{a}{b}+ 12 )}{b}= 1[/math]
следовательно дробь можно сократить на a, что противоречит условию.
Спасибо.

Автор:  Analitik [ 06 мар 2013, 07:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что несократимая дробь не может быть корнем

Toshikarik писал(а):
следовательно дробь можно сократить на a, что противоречит условию.
Мне не понятно откуда это следует и главное зачем?

Задача решается намного проще.
Есть теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами:
Рациональными корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть лишь числа вида [math]\dfrac{m}{p}[/math], где [math]m[/math] - целое, а [math]p[/math] - натуральное число, при этом число [math]\left| m \right|[/math] является делителем свободного члена, а число [math]p[/math] - делителем коэффициента при старшей степени.

Для Вашей задачи это означает, что если у многочлена есть рациональные корни, то это могут быть лишь [math]\pm \dfrac{1}{7}[/math]. Остается подставить и проверить.

Автор:  Toshikarik [ 06 мар 2013, 14:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что несократимая дробь не может быть корнем

Analitik
Спасибо за ответ.
Но эта задача 7 класса средней школы. Не о каких теоремах о рациональных корнях многочлена еще речи не идет. Доказать нужно, что вообще никакая несократимая, правильная дробь не является корнем.

Автор:  Analitik [ 06 мар 2013, 15:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что несократимая дробь не может быть корнем

http://www.resolventa.ru/spr/algebra/ratroot.htm
Здесь тоже самое только для школьников.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/