Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решение системы уравнений с параметрами
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=22347
Страница 1 из 2

Автор:  ANTON255200 [ 01 мар 2013, 12:48 ]
Заголовок сообщения:  Решение системы уравнений с параметрами

1)Найти значения [math]a\geq 0[/math], при которых система имеет 1 решение:

[math]\left\{\!\begin{aligned}& (|x|-6)^2-(y-12)^2=4 \\ & (x+1)^2+y^2=a^2 \end{aligned}\right.[/math]

2) При каждом [math]a[/math] решить систему:

[math]\left\{\!\begin{aligned}& x^2+y^2+2(x-y)+2=0 \\ & a^2+ax+ay-4=0 \end{aligned}\right.[/math]

3) И неравенство пожалуйста.
[math]\frac{x^4+6x^3+9x^2-6(x^2+3x)+10}{x^2+3x-3}\leq 2[/math]

Только объясните способ решения, как в общем случае решать такие задачи.

Вложения:
DSC_0000205.jpg
DSC_0000205.jpg [ 27.99 Кб | Просмотров: 858 ]
DSC_0000204.jpg
DSC_0000204.jpg [ 30.3 Кб | Просмотров: 857 ]

Автор:  ANTON255200 [ 01 мар 2013, 14:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы уравнений с параметрами

первую решил, остальные не могу :Search:

Автор:  Avgust [ 01 мар 2013, 14:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы уравнений с параметрами

1) Проверьте правильность Вашего решения.
Первое уравнение системы - это гипербола. Рисунок симметрично отражается от оси 0Y.
Выразим в явном виде [math]y[/math] , опустив знак модуля:

[math]y=12 \pm \sqrt{x^2-12x+32}[/math]

Пересечение нижней ветви гиперболы с осью 0Y

[math]y_1=12-4\sqrt{2}[/math]

Второе уравнение - это окружность радиуса [math]a[/math] с центром (-1;0)

По теореме Пифагора найдем

[math]a=\sqrt{1^2+(12-4\sqrt{2})^2}=\sqrt{177-96\sqrt{2}}[/math]

В правильности решения можно убедиться из графика
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... qrt%282%29

Автор:  ANTON255200 [ 01 мар 2013, 14:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы уравнений с параметрами

я по другому ее решил.
Если х>=0. то первое уравнение - окружность с центром (6; 12), если x<0, то это окружность с центром (-6; 12).
Примерно так (прошу прощения за корявые пропорции), должно быть понятно.

Вложения:
get_file.jpg
get_file.jpg [ 29.61 Кб | Просмотров: 55 ]

Автор:  Avgust [ 01 мар 2013, 14:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы уравнений с параметрами

Первое уравнение никак не может быть окружностью http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 29%5E2%3D4
И какой же ответ в первой задаче?
Укрупненный график показывает, что задача имеет только одно решение:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... D-7..20%29
Изображение


2) Решаем формально систему и получаем:

[math]x=\frac 1a \left (2i-\frac{a^2 i}{2}+2-a-\frac{a^2}{2} \right )[/math]

[math]y=\frac 1a \left (-2i+\frac{a^2 i}{2}+2+a-\frac{a^2}{2} \right )[/math]

Видно, что мнимая часть сократится, если

[math]\frac{a^2}{2}=2[/math]

Отсюда только два действительных решения системы:

[math]a=\pm 2[/math]

Автор:  Avgust [ 01 мар 2013, 15:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы уравнений с параметрами

3) Интересное неравенство! Его можно упростить так:

[math]x^2+3x-3 +\frac{1}{x^2+3x-3}\le 2[/math]

Обозначим [math]u=x^2+3x-3[/math]

Тогда [math]u+\frac 1u \le 2[/math]

Это уже легко решается:

[math]0<u \le 1+\sqrt{2}[/math]

[math]u \le 1-\sqrt{2}[/math]

Останется сделать обратную замену и продолжить исследования....

Автор:  Sviatoslav [ 01 мар 2013, 16:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы уравнений с параметрами

Avgust, все же первое уравнение первой системы задает окружности. Вернее, так школьникам говорят
http://webmath.exponenta.ru/mege/b/11c5/e18.html

Автор:  ANTON255200 [ 01 мар 2013, 17:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы уравнений с параметрами

Avgust, когда кто-то, не знаю кто, переводил формулы с фотографии, он допустил ошибку, там должен быть вместо минуса плюс..., смотрите на фото №1. А так вроде все верно

Автор:  pewpimkin [ 01 мар 2013, 17:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы уравнений с параметрами

Avgust, что то вы неравенство с U неверно решили: там U=1 и U<0

Автор:  andrei [ 01 мар 2013, 17:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы уравнений с параметрами

Вторая система вообще легко решается.Из первого уравнения выходит
[math]x^{2}+y^{2}+2(x-y)+2=0 \quad \Rightarrow \quad (x+1)^{2}+(y-1)^{2}=0[/math]
Откуда [math]x=-1 \quad y=1[/math] И соответственно из второго уравнения получим [math]a= \pm 2[/math] При всех остальных [math]a[/math] система не имеет решения.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/