| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Решение системы уравнений с параметрами http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=22347 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | ANTON255200 [ 01 мар 2013, 12:48 ] | |||
| Заголовок сообщения: | Решение системы уравнений с параметрами | |||
1)Найти значения [math]a\geq 0[/math], при которых система имеет 1 решение: [math]\left\{\!\begin{aligned}& (|x|-6)^2-(y-12)^2=4 \\ & (x+1)^2+y^2=a^2 \end{aligned}\right.[/math] 2) При каждом [math]a[/math] решить систему: [math]\left\{\!\begin{aligned}& x^2+y^2+2(x-y)+2=0 \\ & a^2+ax+ay-4=0 \end{aligned}\right.[/math] 3) И неравенство пожалуйста. [math]\frac{x^4+6x^3+9x^2-6(x^2+3x)+10}{x^2+3x-3}\leq 2[/math] Только объясните способ решения, как в общем случае решать такие задачи.
|
||||
| Автор: | ANTON255200 [ 01 мар 2013, 14:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение системы уравнений с параметрами |
первую решил, остальные не могу
|
|
| Автор: | Avgust [ 01 мар 2013, 14:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение системы уравнений с параметрами |
1) Проверьте правильность Вашего решения. Первое уравнение системы - это гипербола. Рисунок симметрично отражается от оси 0Y. Выразим в явном виде [math]y[/math] , опустив знак модуля: [math]y=12 \pm \sqrt{x^2-12x+32}[/math] Пересечение нижней ветви гиперболы с осью 0Y [math]y_1=12-4\sqrt{2}[/math] Второе уравнение - это окружность радиуса [math]a[/math] с центром (-1;0) По теореме Пифагора найдем [math]a=\sqrt{1^2+(12-4\sqrt{2})^2}=\sqrt{177-96\sqrt{2}}[/math] В правильности решения можно убедиться из графика http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... qrt%282%29 |
|
| Автор: | Avgust [ 01 мар 2013, 14:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение системы уравнений с параметрами |
Первое уравнение никак не может быть окружностью http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 29%5E2%3D4 И какой же ответ в первой задаче? Укрупненный график показывает, что задача имеет только одно решение: http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... D-7..20%29 ![]() 2) Решаем формально систему и получаем: [math]x=\frac 1a \left (2i-\frac{a^2 i}{2}+2-a-\frac{a^2}{2} \right )[/math] [math]y=\frac 1a \left (-2i+\frac{a^2 i}{2}+2+a-\frac{a^2}{2} \right )[/math] Видно, что мнимая часть сократится, если [math]\frac{a^2}{2}=2[/math] Отсюда только два действительных решения системы: [math]a=\pm 2[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 01 мар 2013, 15:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение системы уравнений с параметрами |
3) Интересное неравенство! Его можно упростить так: [math]x^2+3x-3 +\frac{1}{x^2+3x-3}\le 2[/math] Обозначим [math]u=x^2+3x-3[/math] Тогда [math]u+\frac 1u \le 2[/math] Это уже легко решается: [math]0<u \le 1+\sqrt{2}[/math] [math]u \le 1-\sqrt{2}[/math] Останется сделать обратную замену и продолжить исследования.... |
|
| Автор: | Sviatoslav [ 01 мар 2013, 16:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение системы уравнений с параметрами |
Avgust, все же первое уравнение первой системы задает окружности. Вернее, так школьникам говорят http://webmath.exponenta.ru/mege/b/11c5/e18.html |
|
| Автор: | ANTON255200 [ 01 мар 2013, 17:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение системы уравнений с параметрами |
Avgust, когда кто-то, не знаю кто, переводил формулы с фотографии, он допустил ошибку, там должен быть вместо минуса плюс..., смотрите на фото №1. А так вроде все верно |
|
| Автор: | pewpimkin [ 01 мар 2013, 17:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение системы уравнений с параметрами |
Avgust, что то вы неравенство с U неверно решили: там U=1 и U<0 |
|
| Автор: | andrei [ 01 мар 2013, 17:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решение системы уравнений с параметрами |
Вторая система вообще легко решается.Из первого уравнения выходит [math]x^{2}+y^{2}+2(x-y)+2=0 \quad \Rightarrow \quad (x+1)^{2}+(y-1)^{2}=0[/math] Откуда [math]x=-1 \quad y=1[/math] И соответственно из второго уравнения получим [math]a= \pm 2[/math] При всех остальных [math]a[/math] система не имеет решения. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|