Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Система с параметром
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=22231
Страница 1 из 1

Автор:  Sviatoslav [ 22 фев 2013, 21:23 ]
Заголовок сообщения:  Система с параметром

Нужно найти все значения параметра а, при которых система имеет единственное решение
[math]\left\{\!\begin{aligned}&{x^2}- 6x +{y^2}- 6y + 17 \\ &{x^2}- 2a\left({x + y}\right) +{y^2}+{a^2}= 0 \end{aligned}\right.[/math]
Преобразовываем
[math]\left\{\!\begin{aligned}&{\left({x - 3}\right)^2}+{\left({y - 3}\right)^2}= 1 \\ &{\left({x - a}\right)^2}+{\left({y - a}\right)^2}={a^2}\end{aligned}\right.[/math]

Ясно, что окружности должны касаться. Значит, радиус второй окружности можно найти как разность/сумма расстояния между центрами окружностей и радиусом первой окружности, то есть единицы.
[math]\sqrt 2 \left|{3 - a}\right| \pm 1 = \left| a \right|[/math]

Однако ответ [math]\frac{{3\sqrt 2 \pm 1}}{2}[/math], а они - не корни предыдущего уравнения :(
Скажите пожалуйста, где я допустил ошибку?

Автор:  pewpimkin [ 22 фев 2013, 23:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система с параметром

Думаю в ответе ошибка
Изображение

Автор:  Analitik [ 22 фев 2013, 23:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система с параметром

Sviatoslav
Давайте так.
Центры окружностей находятся в точках с координатами [math](3;3)[/math] и [math](a;a)[/math]. Радиусы окружностей равны [math]1[/math] и [math]\left| a \right|[/math] соответственно.
Таким образом, квадрат длины отрезка (или, если хотите, вектора), соединяющего центры окружностей, с одной стороны равен [math](\left| a \right|+1)^2[/math], а с другой стороны [math](a-3)^2+(a-3)^2[/math].
Т.е. [math]\left( \left| a \right| +1 \right)^2=2(a-3)^2[/math].
Раскрыть скобки, перенести все в одну сторону и рассмотреть два квадратных уравнения при [math]a<0[/math] и при [math]a > 0[/math].

Автор:  Sviatoslav [ 23 фев 2013, 12:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система с параметром

Analitik, спасибо за предложенный способ. Но ответ получается все тот же: [math]7 \pm 4\sqrt 2[/math]. Значит, в ответах в книжке ошибка. Просто я думал, может быть в моих рассуждениях ошибка, а раз ее нет, то все замечательно :)
Тогда еще такой вопрос: какой из полученных радиусов выбрать? Ведь это только первый случай, из него мы должны получить один радиус, полагаю

Автор:  pewpimkin [ 23 фев 2013, 15:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система с параметром

Изображение

Простая геометрия. У Analitik те же корни

Автор:  Sviatoslav [ 23 фев 2013, 16:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система с параметром

pewpimkin, я рассуждал примерно так же, ответ в книжке полностью сбил. Спасибо, что развеяли сомнения :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/