Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Еще уравнение в целых числах
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=16272
Страница 1 из 2

Автор:  Sviatoslav [ 20 апр 2012, 19:02 ]
Заголовок сообщения:  Еще уравнение в целых числах

Линейные уравнения с двумя неизвестными решать научился, а вот показательные ставят пока в тупик :(
[math]3^n - 2^m = 1[/math]
Не знаю, метод остатков пробовал, не доказывает ничего, четность/нечетность тут и так очевидна. Пожалуйста, натолкните на мысль, как нужно построить доказательство?

Автор:  andrei [ 20 апр 2012, 19:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Еще уравнение в целых числах

Попробуйте представить [math]3=2+1[/math] или можно решать так [math]3^n-1=2(3^{n-1}+3^{n-2}+...+1)=2^m[/math]

Автор:  Sviatoslav [ 20 апр 2012, 19:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Еще уравнение в целых числах

Я думал о том, чтобы разложить тройку на 2 и 1, но ведь скобку раскрыть не удастся и результата не увидел. А значит он есть, раз Вы говорите. Но какой :%)

Автор:  Sviatoslav [ 20 апр 2012, 19:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Еще уравнение в целых числах

Единственное, что я смог, это тупо привести к виду
[math]\frac{{3^{n - 1} - 1}}{{2^{m - 1} - 1}} = \frac{2}{3}[/math], откуда, приравняв числители и знаменатели, нашел одну пару решений.

Автор:  andrei [ 20 апр 2012, 19:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Еще уравнение в целых числах

Нужно доказать,что решений в целых числах всего два. :) Тут можно применить разные способы.

Автор:  Sviatoslav [ 20 апр 2012, 20:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Еще уравнение в целых числах

Например какой? :) Можно без разложения [math]3^n-1[/math], о котором Вы написали выше или только с ним?

Автор:  andrei [ 20 апр 2012, 21:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Еще уравнение в целых числах

Решение напишу завтра-писанины много :)

Автор:  Sviatoslav [ 20 апр 2012, 21:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Еще уравнение в целых числах

Буду очень Вам благодарен :) В тех книгах, что у меня есть, подробно такие примеры не разбираются, а школьные учителя сами этих примеров боятся.

Автор:  andrei [ 20 апр 2012, 23:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Еще уравнение в целых числах

Изображение

Автор:  Sviatoslav [ 21 апр 2012, 15:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Еще уравнение в целых числах

Спасибо большое, andrei, буду разбираться.
Только у меня вопрос. Любое выражение вида [math]k^n - 1[/math] можно разложить подобным образом (например
[math]5^n - 1[/math] )? И как получилось такое разложение? Из формулы разложения числа на простые множители?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/