Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 4 из 6 |
[ Сообщений: 55 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5, 6 След. |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
MyTeamix |
|
||
Вернуться к началу | |||
lexus666 |
|
||
MyTeamix сказать по правде, в вашем решении черт ногу сломит. Напишите четко уравнение и граничные-начальные условия. В постановке задачи у вас стоит [math]u(0,t)=u(l,t)=0[/math], а решая задачу на с.з. и с. в. у вас стоит производная.
|
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю lexus666 "Спасибо" сказали: MyTeamix |
|||
MyTeamix |
|
||
Вернуться к началу | |||
lexus666 |
|
||
1) [math]u_{tt}=a^2u_{xx},0\le x\le l,0<t[/math]
[math]u(0,t)=u(l,t)=0[/math] [math]u(x,0)=\sin{\frac{12\pi x}{l}},u_t(x,0)=0[/math] используя метод Фурье [math]u(x,t)=T(t)X(x)[/math] получаем уравнение для функции [math]X(x)[/math]: [math]X''(x)+\lambda X(x)=0,\lambda>0[/math] [math]X(0)=X(l)=0[/math] его решение [math]X(x)=C_1\sin{(\sqrt{\lambda}x)}+C_2\cos{(\sqrt{\lambda}x)}[/math] Из дополнительных условий следует [math]C_2=0[/math] и [math]C_1\sin{(\sqrt{\lambda}l)}=0[/math], т. к. [math]C_1\ne 0[/math] (нулевые решения), то [math]\sqrt{\lambda_n}l=n\pi,n=1,2,...[/math], тогда функция [math]X_n(x)[/math] будет иметь вид: [math]X_n(x)=\sin{\frac{n\pi x}{l}}[/math] (постоянную можно положить равной единице). решаем уравнение для функции [math]T_n(t)[/math]: [math]T''_n(t)+a^2\lambda_nT_n(t)=0[/math], его решение [math]T_n(t)=A_n\sin{\frac{a\pi nt}{l}}+B_n\cos{\frac{a\pi nt}{l}}[/math]. Тогда решение запишеться в виде: [math]u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\sin{\frac{a\pi nt}{l}}+B_n\cos{\frac{a\pi nt}{l}}\right)X_n(x)[/math] для нахождения не известных [math]A_n,B_n[/math] используем начальные условия: [math]u_t(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\frac{a\pi n}{l}\right)X_n(x)=0\to A_n=0[/math] [math]u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_nX_n(x)\to B_n=\frac{1}{\int_0^lX_n^2(x)dx}\int_0^lu(x,0)X_n(x)dx=\frac{2}{l}\int_0^l\sin{\frac{12\pi x}{l}}\sin{\frac{n\pi x}{l}}dx=\delta_{12,n}[/math]([math]\delta_{i,j}[/math]-символ кронекера). Тогда решение будет иметь вид: [math]u(x,t)=\cos{\frac{12a\pi t}{l}}\sin{\frac{12\pi x}{l}}[/math] Касательно второго примера делаете как здесь viewtopic.php?f=45&t=5625&st=0&sk=t&sd=a&start=10 И еще на всякий случай проверьте промежуточные выкладки |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю lexus666 "Спасибо" сказали: MyTeamix |
|||
MyTeamix |
|
||
спасибо огромное за такое подробное решение!
хорошо,пока ещё не совсем понимаю что да как и куда девать во втором примере,но попробую порешать просто стараюсь найти какие то совсем похожие решенные примеры) к завтра выложу что нарешала по этому и ещё по другим... надеюсь смогу разобраться в этом всём |
|||
Вернуться к началу | |||
MyTeamix |
|
||
Вернуться к началу | |||
lexus666 |
|
||
Не верно найдено найдено решение уравнения для функции [math]X(x)[/math] и с. з.:
[math]X''(x)+\lambda X(x)=0,\lambda>0[/math] [math]X(0)=X'(l)=0[/math] решение уравнения:[math]X(x)=A\cos{(\sqrt{\lambda}x)}+B\sin{(\sqrt{\lambda}x)}[/math], из граничных условий [math]A=0,B\sqrt{\lambda_n}\cos{(\sqrt{\lambda_n}l)}=0\to \sqrt{\lambda_n}l=n\pi+\frac{\pi}{2}\to \sqrt{\lambda_n}=\frac{(2n+1)\pi}{2l},n=0,1,2,..[/math] Т. о. для функции [math]X_n(x)[/math] получается решение [math]X_n(x)=\sin{\left(\frac{(2n+1)\pi}{2l}x\right)},n=0,1,2,..[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю lexus666 "Спасибо" сказали: MyTeamix |
|||
MyTeamix |
|
||
а дальше после этого мне искать T(t)
потом U(x,t) ? ну так как делала в старом решении ещё? |
|||
Вернуться к началу | |||
MyTeamix |
|
||
Вернуться к началу | |||
lexus666 |
|
||
дальше для функции [math]T_n(t)[/math] получается уравнение:
[math]T''_n(t)+a^2\lambda_nT_n(t)=0[/math], его решение [math]T_n(t)=A_n\sin{(\sqrt{\lambda_n}at)}+B_n\cos{(\sqrt{\lambda_n}at)}[/math]. Тогда решение примет вид: [math]u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}(A_n\sin{(\sqrt{\lambda_n}at)}+B_n\cos{(\sqrt{\lambda_n}at)})X_n(x)[/math] Из начальных условий находите не известные коэффициенты: [math]A_n=\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}a\int_0^lX_n^2(x)dx}\int_0^lu_t(x,0)X_n(x)dx=...[/math] [math]B_n=\frac{1}{\int_0^lX_n^2(x)dx}\int_0^lu(x,0)X_n(x)dx=...[/math] как посчитаете выложте для проверки |
|||
Вернуться к началу | |||
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5, 6 След. | [ Сообщений: 55 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Волновое уравнение
в форуме Специальные разделы |
1 |
424 |
22 ноя 2015, 23:18 |
|
Волновое уравнение
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
372 |
21 июл 2015, 23:46 |
|
Волновое уравнение | 2 |
304 |
09 мар 2020, 06:16 |
|
Волновое уравнение | 0 |
188 |
10 дек 2017, 22:11 |
|
Волновое уравнение методом Фурье | 0 |
170 |
24 янв 2019, 17:16 |
|
Матфизика - решить задачи
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
357 |
26 дек 2017, 14:52 |
|
Расшифровать обозначение (матфизика) - клинопись
в форуме Специальные разделы |
10 |
742 |
04 янв 2018, 18:21 |
|
Опровержение основ физики: ДИФРАКЦИЯ - ЯВЛЕНИЕ ВОЛНОВОЕ?
в форуме Оптика и Волны |
3 |
912 |
17 ноя 2014, 02:44 |
|
В каком случае n (волновое число) может остаться в решении?
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
261 |
15 ноя 2015, 12:37 |
|
Уравнение гиперболы, зная фокус, уравнение директрисы,< асим | 1 |
766 |
10 апр 2021, 12:44 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |