Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Температура идеального газа
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=68&t=38767
Страница 1 из 1

Автор:  miran160998 [ 30 янв 2015, 21:15 ]
Заголовок сообщения:  Температура идеального газа

Приветствую вас друзья!Снова иду к вам за бесценной помощью!
Условие задачи: в сосуде под поршнем находится идеальный одноатомный газ. Масса поршня равна M, температура газа в сосуде равна Т, система находится в равновесии. Сосуд теплоизолируют, а на поршень ставят груз массой m. Найдите температуру газа, которая установится в равновесии. Атмосферным давлением пренебрегите.


Спасибо.

Автор:  Li6-D [ 01 фев 2015, 13:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Температура идеального газа

Давление под поршнем увеличится в [math]\frac{{{P_2}}}{{{P_1}}}= \frac{{M + m}}{M}[/math] раз.
Процесс без теплообмена, т.е. адиабатический. Для идеального газа можно воспользоваться формулой Пуассона: [math]P \cdot{V^k}= \operatorname{co}nst \Rightarrow \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}={\left({\frac{{{P_1}}}{{{P_2}}}}\right)^{\frac{1}{k}}}[/math].
Показатель адиабаты одноатомного газа равен [math]k = \frac{5}{3}[/math].
С учётом постоянства массы газа под поршнем, уравнение Менделеева-Клайперона даёт:
[math]\frac{{P \cdot V}}{T}= const \Rightarrow \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}= \frac{{{P_2}\cdot{V_2}}}{{{P_1}\cdot{V_1}}}={\left({\frac{{{P_2}}}{{{P_1}}}}\right)^{1 - \frac{1}{k}}}={\left({\frac{{{P_2}}}{{{P_1}}}}\right)^{\frac{2}{5}}}={\left({\frac{{M + m}}{M}}\right)^{\frac{2}{5}}}[/math].

Автор:  Human [ 24 апр 2015, 16:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Температура идеального газа

Не хотелось бы поднимать тему трехмесячной давности, но все же.

Li6-D писал(а):
Процесс без теплообмена, т.е. адиабатический. Для идеального газа можно воспользоваться формулой Пуассона:


Вы забыли одно важное слово, которое напрочь убивает все Ваше решение: квазистатичность. Формула Пуассона справедлива только для квазистатического адиабатического процесса. Процесс, описанный в задаче, не квазистатичен: груз просто ставят на поршень, и после этого система становится неравновесной вплоть до установления равновесия. Ваше решение было бы верным, если бы груз не просто ставился на поршень, а как бы медленно насыпался по частям так, чтобы система последовательно переходила через состояния равновесия. Здесь же этого не происходит.

Решение для данной задачи такое. Пусть [math]P, V, T[/math] - параметры газа до опускания груза, [math]P_1, V_1, T_1[/math] - после. Пусть [math]S[/math] - площадь поршня/сечения сосуда. Тогда

[math]P=\frac{Mg}S, P_1=\frac{(M+m)g}S[/math]

[math]V=\frac{\nu RTS}{Mg},\ V_1=\frac{\nu RT_1S}{(M+m)g} \Rightarrow \Delta V=\frac{\nu RS}g\left(\frac T M-\frac{T_1}{M+m}\right) \Rightarrow h=\frac{\nu R}g\left(\frac T M-\frac{T_1}{M+m}\right)[/math] - высота, на которую опустился поршень.

В течение процесса на газ действовала постоянная внешняя сила, равная [math](M+m)g[/math], опустившая поршень с грузом на высоту [math]h[/math], поэтому работа внешних сил [math]A=(M+m)gh=\nu R\left(T\left(1+\frac m M\right)-T_1\right)[/math].

Процесс без теплообмена, значит, согласно первому началу, изменение внутренней энергии газа происходит только за счет работы внешних сил, то есть

[math]\frac32\nu R (T_1-T)=\nu R\left(T\left(1+\frac m M\right)-T_1\right)[/math], откуда

[math]T_1=T\left(1+\frac{2m}{5M}\right)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/