Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ 1 сообщение ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
orelna |
|
|
возникла необходимость в численном решении бигармонического уравнения [math]\Delta^2 \varphi(x,z) = 0[/math] в квадратной области [math]\Omega = [-a,a]\times [0,2a][/math]. Граничные условия задаются на границах следующим образом: [math]\begin{array}{l} \left. {\varphi _{xx} } \right|_{z = 0} = - p\left( x \right),\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{z = 0} = 0,\,\, - a \leqslant x \leqslant a, \\ \left. {\varphi _{xx} } \right|_{z = 2a} = 0,\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{z = 2a} = 0,\,\, - a \leqslant x \leqslant a, \\ \left. {\varphi _{zz} } \right|_{x = - a} = 0,\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{x = - a} = 0,\,\,0 \leqslant z \leqslant 2a, \\ \left. {\varphi _{zz} } \right|_{x = a} = 0,\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{x = a} = 0,\,\,0 \leqslant z \leqslant 2a. \\ \end{array}[/math] Решил воспользоваться разностной схемой на тринадцатиточечном шаблоне. Ввел сетку [math]\omega = \omega _x \times \omega _z[/math] [math]\omega _x = \left\{ {x = - a + ih,\,\,i = 0,M} \right\},\,\,M = \frac{{2a}}{h}[/math] , [math]\omega _z = \left\{ {z = jh,\,\,j = 0,\,N} \right\},\,N = \frac{{2a}}{h}[/math] Получил разностную аппроксимацию самого дифференциального уравнения [math]\dfrac{{20}}{{h^4 }}y_i^j - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_{i + 1}^j + y_i^{j + 1} + y_i^{j - 1} } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_{i + 1}^{j + 1} + y_{i - 1}^{j + 1} + y_{i - 1}^{j - 1} + y_{i + 1}^{j - 1} } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_{i + 2}^j + y_i^{j + 2} + y_{i - 2}^j + y_{i - 2}^j } \right) = 0, i,j = 2...M-2[/math]. Граничные условия аппроксимировал следующим образом: [math]\begin{array}{l} \dfrac{{y_i^0 - 2y_{i - 1}^0 + y_{i - 2}^0 }}{{h^2 }} = - p\left( {x_i } \right),\,\,i = \overline {2,M - 2} , \\ \dfrac{{y_{i + 1}^1 - y_i^1 - y_{i + 1}^0 + y_i^0 }}{{h^2 }} = - q\left( {x_i } \right),\,\,\overline {i = 0,M - 1} . \\ \dfrac{{y_i^N - 2y_{i - 1}^N + y_{i - 2}^N }}{{h^2 }} = 0,\,\,\dfrac{{y_{i + 1}^N - y_i^N - y_{i + 1}^{N - 1} + y_i^{N - 1} }}{{h^2 }} = 0,\,\,i = \overline {2,M - 2} , \\ \dfrac{{y_0^{j + 1} - 2y_0^j + y_0^{j - 1} }}{{h^2 }} = 0,\,\,\dfrac{{y_1^{j + 1} - y_0^{j + 1} - y_1^j + y_0^j }}{{h^2 }} = 0,\,\,j = \overline {1,N - 1} , \\ \dfrac{{y_M^{j + 1} - 2y_M^j + y_M^{j - 1} }}{{h^2 }} = 0,\,\,\dfrac{{y_M^{j + 1} - y_{M - 1}^{j + 1} - y_M^j + y_{M - 1}^j }}{{h^2 }} = 0,\,\,j = \overline {1,N - 1} . \\ \end{array}[/math] Дальше я застрял, поскольку не могу понять, с чего начать свои вычисления. Может я где-то перемудрил или выбрал неудачный численный метод. Подскажите, как все таки производить вычисления по такой схеме? Сижу уже большое количество времени с этой задачи, никак не могу дальше сдвинуться в ее решении. |
||
Вернуться к началу | ||
[ 1 сообщение ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Методом Эйлера найти численное решение уравнения
в форуме Численные методы |
0 |
245 |
22 дек 2019, 18:14 |
|
Численное решение ДУ на полуоси
в форуме Численные методы |
0 |
270 |
17 апр 2015, 04:53 |
|
Численное решение задачи Коши
в форуме Численные методы |
2 |
435 |
04 июн 2018, 15:54 |
|
Численное решение уравнений с корнями
в форуме Численные методы |
1 |
297 |
13 июн 2021, 14:36 |
|
Трёхмерное уравнение теплопроводности. Численное решение
в форуме Специальные разделы |
1 |
453 |
17 апр 2018, 08:25 |
|
Численное решение СЛАУ различными методами в Excel
в форуме Microsoft Excel |
19 |
1007 |
03 ноя 2020, 13:16 |
|
Где можно найти численное решение задач на крутильные колеб?
в форуме Механика |
16 |
629 |
23 апр 2020, 20:12 |
|
Частное решение дифференциального уравнения\общее решение | 5 |
762 |
06 май 2014, 19:13 |
|
Численное дифференцирование
в форуме Численные методы |
4 |
479 |
21 май 2018, 02:52 |
|
Численное интегрирование
в форуме Численные методы |
2 |
249 |
04 июн 2018, 15:48 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |