Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Численное решение бигармонического уравнения
СообщениеДобавлено: 13 сен 2020, 12:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 сен 2020, 21:54
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! В процессе выполнения курсовой работы (касающаяся решения плоской задачи теории упругости)
возникла необходимость в численном решении бигармонического уравнения [math]\Delta^2 \varphi(x,z) = 0[/math] в квадратной области
[math]\Omega = [-a,a]\times [0,2a][/math].
Граничные условия задаются на границах следующим образом:

[math]\begin{array}{l}
\left. {\varphi _{xx} } \right|_{z = 0} = - p\left( x \right),\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{z = 0} = 0,\,\, - a \leqslant x \leqslant a, \\
\left. {\varphi _{xx} } \right|_{z = 2a} = 0,\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{z = 2a} = 0,\,\, - a \leqslant x \leqslant a, \\
\left. {\varphi _{zz} } \right|_{x = - a} = 0,\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{x = - a} = 0,\,\,0 \leqslant z \leqslant 2a, \\
\left. {\varphi _{zz} } \right|_{x = a} = 0,\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{x = a} = 0,\,\,0 \leqslant z \leqslant 2a. \\
\end{array}[/math]

Решил воспользоваться разностной схемой на тринадцатиточечном шаблоне. Ввел сетку [math]\omega = \omega _x \times \omega _z[/math]
[math]\omega _x = \left\{ {x = - a + ih,\,\,i = 0,M} \right\},\,\,M = \frac{{2a}}{h}[/math] , [math]\omega _z = \left\{ {z = jh,\,\,j = 0,\,N} \right\},\,N = \frac{{2a}}{h}[/math]

Получил разностную аппроксимацию самого дифференциального уравнения
[math]\dfrac{{20}}{{h^4 }}y_i^j - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_{i + 1}^j + y_i^{j + 1} + y_i^{j - 1} } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_{i + 1}^{j + 1} + y_{i - 1}^{j + 1} + y_{i - 1}^{j - 1} + y_{i + 1}^{j - 1} } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_{i + 2}^j + y_i^{j + 2} + y_{i - 2}^j + y_{i - 2}^j } \right) = 0, i,j = 2...M-2[/math]. Граничные условия аппроксимировал следующим образом:


[math]\begin{array}{l}
\dfrac{{y_i^0 - 2y_{i - 1}^0 + y_{i - 2}^0 }}{{h^2 }} = - p\left( {x_i } \right),\,\,i = \overline {2,M - 2} , \\
\dfrac{{y_{i + 1}^1 - y_i^1 - y_{i + 1}^0 + y_i^0 }}{{h^2 }} = - q\left( {x_i } \right),\,\,\overline {i = 0,M - 1} . \\
\dfrac{{y_i^N - 2y_{i - 1}^N + y_{i - 2}^N }}{{h^2 }} = 0,\,\,\dfrac{{y_{i + 1}^N - y_i^N - y_{i + 1}^{N - 1} + y_i^{N - 1} }}{{h^2 }} = 0,\,\,i = \overline {2,M - 2} , \\
\dfrac{{y_0^{j + 1} - 2y_0^j + y_0^{j - 1} }}{{h^2 }} = 0,\,\,\dfrac{{y_1^{j + 1} - y_0^{j + 1} - y_1^j + y_0^j }}{{h^2 }} = 0,\,\,j = \overline {1,N - 1} , \\
\dfrac{{y_M^{j + 1} - 2y_M^j + y_M^{j - 1} }}{{h^2 }} = 0,\,\,\dfrac{{y_M^{j + 1} - y_{M - 1}^{j + 1} - y_M^j + y_{M - 1}^j }}{{h^2 }} = 0,\,\,j = \overline {1,N - 1} . \\
\end{array}[/math]


Дальше я застрял, поскольку не могу понять, с чего начать свои вычисления. Может я где-то перемудрил или выбрал неудачный численный метод. Подскажите, как все таки производить вычисления по такой схеме? Сижу уже большое количество времени с этой задачи, никак не могу дальше сдвинуться в ее решении.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Абелизация или численное решение уравнения Абеля

в форуме Численные методы

FrostedFlakes

0

619

06 июн 2013, 14:53

Численное решение нелинейного волнового уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

wlvrn

0

456

07 май 2012, 17:08

Численное решение уравнения Фредгольма 2-го рода в MathCad

в форуме MathCad

sextemaboy

1

877

31 май 2012, 20:09

Методом Эйлера найти численное решение уравнения

в форуме Численные методы

Denis5654

0

70

22 дек 2019, 18:14

Численное решение ДУ на полуоси

в форуме Численные методы

geor

0

185

17 апр 2015, 04:53

Численное решение задачи Коши

в форуме Численные методы

dobro

2

189

04 июн 2018, 15:54

Найти численное решение задачи Коши

в форуме Численные методы

pral23

0

406

09 апр 2012, 20:40

Численное решение Д.У; Сходимость числовых рядов и еще 1 зад

в форуме Ряды

flerons

2

459

16 мар 2014, 07:31

Трёхмерное уравнение теплопроводности. Численное решение

в форуме Специальные разделы

KRIZH

1

228

17 апр 2018, 08:25

Численное решение системы уравнений в частных производных

в форуме Численные методы

ALexGydr112

0

546

22 янв 2012, 20:34


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved