Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение системы нелинейных уравнений.Производственная задача
СообщениеДобавлено: 03 дек 2017, 14:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 дек 2017, 14:04
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день. Небольшое введение в задачу: ищу способ посчитать расход в трубопроводной сети природного и попутного нефтяного газа. Для начала, рассматриваю простой, относительно, случай: три источника вещества и один "выход".
Изображение
Имеем [math]P_{1}[/math]=[math]P_{2}[/math]=[math]P_{3}[/math]=12 МПа, [math]P_{4}[/math]=10 МПа
Потоки идут из источников с давлением Р(1,2,3) в Р(4).
Перепад давления в трубопроводе рассчитывается из формуры:
Изображение
Сворачиваем константы для каждого участка трубопровода и получаем:
[math]C_{i}[/math]=[math]\frac{ P_{0}* \lambda _{i}* \rho _{i}*l_{i} }{ 81* \pi ^{2}*d_{i}^{5}}[/math]
Далее рассматриваем все на конкретно примере, после того как константы подставлены, получаем систему уравнений:
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 44-25.56396202*Q_{1}^2-34.08528269*Q_{1}*Q_{2}-17.04264135*Q_{2}^2-17.04264135*Q_{1}*Q_{3}-17.04264135*Q_{2}*Q_{3}-8.521320675*Q_{3}^2 = 0 \\
& 44-25.56396202*Q_{2}^2-17.04264135*Q_{1}^2-34.08528269*Q_{1}*Q_{2}-17.04264135*Q_{1}*Q_{3}-17.04264135*Q_{2}*Q_{3}-8.521320675*Q_{3}^2 = 0 \\
& 44-17.04264135*Q_{3}^2-8.521320675*Q_{1}^2-17.04264135*Q_{1}*Q_{2}-17.04264135*Q_{1}*Q_{3}-8.521320675*Q_{2}^2-17.04264135*Q_{2}*Q_{3} = 0
\end{aligned}\right.[/math]


Решал данную систему в Maple, корни:
{Q[1] = 1.606785433, Q[2] = -1.606785433, Q[3] = 1.606785433}, {Q[1] = -1.606785433, Q[2] = 1.606785433, Q[3] = 1.606785433}, {Q[1] = 1.606785433, Q[2] = -1.606785433, Q[3] = -1.606785433}, {Q[1] = -1.606785433, Q[2] = 1.606785433, Q[3] = -1.606785433}, {Q[1] = .4743902377, Q[2] = .4743902377, Q[3] = 1.060768819}, {Q[1] = 1.010604039, Q[2] = 1.010604039, Q[3] = -2.259779329}, {Q[1] = -.4743902377, Q[2] = -.4743902377, Q[3] = -1.060768819}, {Q[1] = -1.010604039, Q[2] = -1.010604039, Q[3] = 2.259779329}

Но мне нужен только тот случай, когда все три положительные. Накладываем условие, получаем: Q[1] = 0.4743902378, Q[2] = 0.4743902378, Q[3] = 1.060768819

Теперь, собственно, сам вопрос.
На данный момент, всё это решается обычным проходом по отрезку возможного решения [0;100] с разными временными шагами. Но всё это долго, поэтому, нужно ускорить данный процесс.
И теперь вот встает вопрос, каким методом можно наиболее быстро решить данную систему? Причём, из всех корней нужен только тот, где все три [math]Q_{i} >=0[/math]
Или, возможно, кто-то знает какой метод использует Maple для решения такой системы?

Методы простых итераций/Зейделя/Ньютона и т.п. дают мне один набор корней, который может не подходить. Плюс возможны варианты с плохим начальным приближением/детерминант матрицы Якоби = 0/деление на 0 при методе простых итераций.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение системы нелинейных уравнений.Производственная задача
СообщениеДобавлено: 03 дек 2017, 21:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все современные математические пакеты используют ньютоновские алгоритмы (с матрицами Гессе), поэтому сомневаться не стоит (а Maple вообще считается одним из самых лучших пакетов, который может и символьные решения находить, если это возможно). Надо учитывать, что различных решений системы нелинейных уравнений может быть много. Пакеты обычно находят те решения, которые находятся достаточно близко от начального приближения. Если требуется найти найти решения с дополнительными ограничениями, то обычно добавляют соответствующие неравенства в систему уравнений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
CRiMER
 Заголовок сообщения: Re: Решение системы нелинейных уравнений.Производственная задача
СообщениеДобавлено: 04 дек 2017, 14:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 дек 2017, 14:04
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Все современные математические пакеты используют ньютоновские алгоритмы (с матрицами Гессе), поэтому сомневаться не стоит (а Maple вообще считается одним из самых лучших пакетов, который может и символьные решения находить, если это возможно). Надо учитывать, что различных решений системы нелинейных уравнений может быть много. Пакеты обычно находят те решения, которые находятся достаточно близко от начального приближения. Если требуется найти найти решения с дополнительными ограничениями, то обычно добавляют соответствующие неравенства в систему уравнений.

Попробовал решить методом скорейшего спуска. Решается и сходится к нужным корням, но не всегда. Всё зависит от начального приближения.
Метод Ньютона второго порядка(с матрицей Гессе) ничего толкового не дал, т.к. матрица Гессе(вторых производных), в данном случае, это матрица констант.
Если дополнять систему соотв. неравенствами, то получим 6 уравнений и 3 неизвестных. А какой метод тут применим из ньютоновских алгоритмов?
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& ... \\
& Q_{1} \geqslant 0 \\
& Q_{2} \geqslant 0 \\
& Q_{3} \geqslant 0
\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение системы нелинейных уравнений.Производственная задача
СообщениеДобавлено: 04 дек 2017, 15:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ньютоновские алгоритмы сами по себе не могут учитывать ограничения в виде неравенств, но математические пакеты каким-то образом позволяют комбинировать различные методы. Например, в Mathcad можно одновременно задавать уравнения и неравенства в решающем блоке Given ... Find(), хотя в документации написано, что используется ньютоновский алгоритм. В основном все зависит от искусства задавать разумные начальные значения - это и делает процесс решения задачи интересным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение системы нелинейных уравнений.Производственная задача
СообщениеДобавлено: 05 дек 2017, 12:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 дек 2017, 14:04
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Ньютоновские алгоритмы сами по себе не могут учитывать ограничения в виде неравенств, но математические пакеты каким-то образом позволяют комбинировать различные методы. Например, в Mathcad можно одновременно задавать уравнения и неравенства в решающем блоке Given ... Find(), хотя в документации написано, что используется ньютоновский алгоритм. В основном все зависит от искусства задавать разумные начальные значения - это и делает процесс решения задачи интересным.

Скорее всего, он так же находит все корни, но выводит уже с наложением условия.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решение системы нелинейных уравнений

в форуме Численные методы

ubuntu

2

338

16 дек 2017, 04:27

Решение системы нелинейных уравнений

в форуме Численные методы

nadffka

11

636

09 май 2018, 09:56

Решение системы нелинейных уравнений 8 уравнений – 8 неизвес

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

mixar

6

678

21 янв 2017, 04:46

Решение сложной системы нелинейных уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Abraziv

1

630

14 авг 2015, 12:10

Решение системы нелинейных уравнений геометрическим методом

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

AGN

6

174

09 авг 2023, 19:08

Решение системы нелинейных уравнений методом ньютона

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mathematic

1

402

15 фев 2018, 12:19

Системы нелинейных уравнений

в форуме Численные методы

maksimis1111

1

320

05 дек 2020, 15:31

Метод итераций для системы нелинейных уравнений

в форуме Численные методы

mad_math

13

300

02 фев 2024, 09:08

Метод простой итерации при решение системы нелинейных уравне

в форуме Численные методы

corbulo

5

441

29 янв 2022, 10:54

Решение систем нелинейных уравнений

в форуме Численные методы

lapshun

1

385

20 дек 2017, 22:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved