Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
CRiMER |
|
|
Имеем [math]P_{1}[/math]=[math]P_{2}[/math]=[math]P_{3}[/math]=12 МПа, [math]P_{4}[/math]=10 МПа Потоки идут из источников с давлением Р(1,2,3) в Р(4). Перепад давления в трубопроводе рассчитывается из формуры: Сворачиваем константы для каждого участка трубопровода и получаем: [math]C_{i}[/math]=[math]\frac{ P_{0}* \lambda _{i}* \rho _{i}*l_{i} }{ 81* \pi ^{2}*d_{i}^{5}}[/math] Далее рассматриваем все на конкретно примере, после того как константы подставлены, получаем систему уравнений: [math]\left\{\!\begin{aligned} & 44-25.56396202*Q_{1}^2-34.08528269*Q_{1}*Q_{2}-17.04264135*Q_{2}^2-17.04264135*Q_{1}*Q_{3}-17.04264135*Q_{2}*Q_{3}-8.521320675*Q_{3}^2 = 0 \\ & 44-25.56396202*Q_{2}^2-17.04264135*Q_{1}^2-34.08528269*Q_{1}*Q_{2}-17.04264135*Q_{1}*Q_{3}-17.04264135*Q_{2}*Q_{3}-8.521320675*Q_{3}^2 = 0 \\ & 44-17.04264135*Q_{3}^2-8.521320675*Q_{1}^2-17.04264135*Q_{1}*Q_{2}-17.04264135*Q_{1}*Q_{3}-8.521320675*Q_{2}^2-17.04264135*Q_{2}*Q_{3} = 0 \end{aligned}\right.[/math] Решал данную систему в Maple, корни: {Q[1] = 1.606785433, Q[2] = -1.606785433, Q[3] = 1.606785433}, {Q[1] = -1.606785433, Q[2] = 1.606785433, Q[3] = 1.606785433}, {Q[1] = 1.606785433, Q[2] = -1.606785433, Q[3] = -1.606785433}, {Q[1] = -1.606785433, Q[2] = 1.606785433, Q[3] = -1.606785433}, {Q[1] = .4743902377, Q[2] = .4743902377, Q[3] = 1.060768819}, {Q[1] = 1.010604039, Q[2] = 1.010604039, Q[3] = -2.259779329}, {Q[1] = -.4743902377, Q[2] = -.4743902377, Q[3] = -1.060768819}, {Q[1] = -1.010604039, Q[2] = -1.010604039, Q[3] = 2.259779329} Но мне нужен только тот случай, когда все три положительные. Накладываем условие, получаем: Q[1] = 0.4743902378, Q[2] = 0.4743902378, Q[3] = 1.060768819 Теперь, собственно, сам вопрос. На данный момент, всё это решается обычным проходом по отрезку возможного решения [0;100] с разными временными шагами. Но всё это долго, поэтому, нужно ускорить данный процесс. И теперь вот встает вопрос, каким методом можно наиболее быстро решить данную систему? Причём, из всех корней нужен только тот, где все три [math]Q_{i} >=0[/math] Или, возможно, кто-то знает какой метод использует Maple для решения такой системы? Методы простых итераций/Зейделя/Ньютона и т.п. дают мне один набор корней, который может не подходить. Плюс возможны варианты с плохим начальным приближением/детерминант матрицы Якоби = 0/деление на 0 при методе простых итераций. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Все современные математические пакеты используют ньютоновские алгоритмы (с матрицами Гессе), поэтому сомневаться не стоит (а Maple вообще считается одним из самых лучших пакетов, который может и символьные решения находить, если это возможно). Надо учитывать, что различных решений системы нелинейных уравнений может быть много. Пакеты обычно находят те решения, которые находятся достаточно близко от начального приближения. Если требуется найти найти решения с дополнительными ограничениями, то обычно добавляют соответствующие неравенства в систему уравнений.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: CRiMER |
||
CRiMER |
|
|
michel писал(а): Все современные математические пакеты используют ньютоновские алгоритмы (с матрицами Гессе), поэтому сомневаться не стоит (а Maple вообще считается одним из самых лучших пакетов, который может и символьные решения находить, если это возможно). Надо учитывать, что различных решений системы нелинейных уравнений может быть много. Пакеты обычно находят те решения, которые находятся достаточно близко от начального приближения. Если требуется найти найти решения с дополнительными ограничениями, то обычно добавляют соответствующие неравенства в систему уравнений. Попробовал решить методом скорейшего спуска. Решается и сходится к нужным корням, но не всегда. Всё зависит от начального приближения. Метод Ньютона второго порядка(с матрицей Гессе) ничего толкового не дал, т.к. матрица Гессе(вторых производных), в данном случае, это матрица констант. Если дополнять систему соотв. неравенствами, то получим 6 уравнений и 3 неизвестных. А какой метод тут применим из ньютоновских алгоритмов? [math]\left\{\!\begin{aligned} & ... \\ & Q_{1} \geqslant 0 \\ & Q_{2} \geqslant 0 \\ & Q_{3} \geqslant 0 \end{aligned}\right.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Ньютоновские алгоритмы сами по себе не могут учитывать ограничения в виде неравенств, но математические пакеты каким-то образом позволяют комбинировать различные методы. Например, в Mathcad можно одновременно задавать уравнения и неравенства в решающем блоке Given ... Find(), хотя в документации написано, что используется ньютоновский алгоритм. В основном все зависит от искусства задавать разумные начальные значения - это и делает процесс решения задачи интересным.
|
||
Вернуться к началу | ||
CRiMER |
|
|
michel писал(а): Ньютоновские алгоритмы сами по себе не могут учитывать ограничения в виде неравенств, но математические пакеты каким-то образом позволяют комбинировать различные методы. Например, в Mathcad можно одновременно задавать уравнения и неравенства в решающем блоке Given ... Find(), хотя в документации написано, что используется ньютоновский алгоритм. В основном все зависит от искусства задавать разумные начальные значения - это и делает процесс решения задачи интересным. Скорее всего, он так же находит все корни, но выводит уже с наложением условия. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |