Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 17 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Remark |
|
|
решить уравнение модифицированным методом Эйлера. Начальные условия: [math]x=0[/math]; [math]dx|dt=1 (t=0)[/math] .Решить данное уравнение при [math]w=6[/math] на интервале [math]0\leqslant t\leqslant3c[/math]. я так понял,что надо надо y заменить на столбцы [math]\binom{x}{x'}[/math] в формуле Эйлера [math]{y}_{i+1}={y}_{i}+hf({x}_{i}+\frac{h}{2};{y}_{i}+\frac{h}{2}f({x}_{i};{y}_{i}))[/math] по такому примеру получится [math]\left\{ \begin{array}{rcl} x'=x \\ (x')'=-{w}_{2}x \\ \end{array} \right.[/math] но не понимаю как дальше делать |
||
Вернуться к началу | ||
SAVANTOS |
|
|
Как вы написали надо свести к системе второго порядка.
[math]\left\lbrace\begin{align*} &\dot{x} = p(t),\\ &\dot{p} = \ddot{x}= -w^2 x,\\ & x(0)=0, \\ &\dot{x}(0) = p(0) = 1. \end{align*}\right.[/math] Дальше применяете численные методы для интегрирования систем. Находите [math]x(t)[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Remark |
|
|
SAVANTOS спасибо, но не совсем понятно как решить систему методом Эйлера, может подскажите какие учебные пособия или учебники, с подробным описанием. Без системы все было более менее понятно
|
||
Вернуться к началу | ||
SAVANTOS |
|
|
Здесь можно посмотреть на стр. 19. Есть пример решения с разбором, но для метода Рунге-Кутты.
Ещё сайт с краткой информацией. http://www.toehelp.ru/theory/informat/lecture14.html А так можно посмотреть любой учебник по численным методам. Например, Численные методы, Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. или Численные методы в примерах и задачах Киреев В.И., Пантелеев А.В. |
||
Вернуться к началу | ||
Remark |
|
|
SAVANTOS
почитал предложенную Вами литературу, попробовал решить по примеру метода Рунге-Кутты, но только через метод Эйлера. Не прошу за себя решать , прошу проверить и может подсказать в верном ли направлении иду [math]yi+1=yi+hf(xi+\frac{ h }{2 } ;yi+\frac{ h }{ 2 } f(xi;yi))[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & x'= p(t) \\ & p'=-w^2*x \end{aligned}\right.[/math] x(0)=0;p(0)=1 опишу подробно [math]{x}_{0}+\frac{ h }{ 2 }=0+\frac{ 0,1 }{ 2 }=0.05[/math] - 1 аргумент внешней функции [math]f(x,p)=-w^2*x*0=0[/math] - внутренняя функция [math]p+\frac{h}{ 2}(x,p)=1+0,05*0=1[/math] - 2 аргумент внешней функции [math]f({x}_{0}+\frac{ h }{ 2 }=0+\frac{ 0,1 }{ 2 },p+\frac{h}{ 2}(x,p)) = 0,05*(-36)*1=-1.8[/math] - функция в точке [math]hf=0.1* (-1.8)=-0.18[/math] - умножил на шаг разбиения [math]{x}_{1} =0-0.18=-0.18[/math] нашел p1 [math]{x}_{1}+\frac{ h }{ 2 }=0.1+\frac{ 0,1 }{ 2 }=0.15[/math] - 1 аргумент внешней функции [math]f(x1,p1)=-w^2*-0.18*0.1=0.648[/math] - внутренняя функция [math]p+\frac{h}{ 2}(x,p)=-0.18+0,05*0.648=0.144[/math] - 2 аргумент внешней функции [math]f({x}_{0}+\frac{ h }{ 2 }=0+\frac{ 0,1 }{ 2 },p+\frac{h}{ 2}(x,p)) = 0,15*0.144*36=0.777[/math] - функция в точке [math]hf=0.1* (0.777)=0.0777[/math] - умножил на шаг разбиения [math]{x}_{2} =-0.18 - 0.0777=-0.2577[/math] нашел p2 насколько это все бред или может есть правильное что-то ?? |
||
Вернуться к началу | ||
SAVANTOS |
|
|
Кое-что правильно написано, но теперь решается система и функция [math]f(x,y)[/math] зависит от трёх аргументов, а не от двух. Также это не одна функция, а две. Подставлять вместо [math]y[/math], [math](x^\prime, p^\prime)[/math] в формулу для расчёта нового значения нельзя.
Система имеет следующий вид: [math]\left\lbrace\begin{align*} &\dot{x} = f_1(t, x, p) = p,\\ &\dot{p} = f_2(t, x, p) = -w^2 x,\\ &x(0) = 0,\\ &p(0) =1. \end{align*} \right.[/math] Формулы для расчёта нового значения будут иметь следующий вид: [math]\begin{align*} &x_{i+1} = x_i + h \cdot f_1(t_i + \frac{h}{2}, x_i + \dfrac{h}{2} f_1(t_i,x_i,p_i), p_i + \dfrac{h}{2} f_2(t_i,x_i,p_i)),\\ &p_{i+1} = p_i + h \cdot f_2(t_i + \frac{h}{2}, x_i + \dfrac{h}{2} f_1(t_i,x_i,p_i), p_i + \dfrac{h}{2} f_2(t_i,x_i,p_i) ). \end{align*}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю SAVANTOS "Спасибо" сказали: Remark |
||
Remark |
|
|
SAVANTOS
спасибо большое за помощь, не могли бы еще подсказать как высчитывается [math]{f}_{1}({t}_{i},{x}_{i},{p}_{i})[/math] по системе Р=1, значит и она будет равна 1 , либо же надо каждый аргумент перемножить между собой. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Не проще ли просто загнать все эти формулы (от SAVANTOS), например, в Excel и просто переписать результаты вычислений (пошаговые). Что Вы понимаете под "перемножением аргументов между собой"?
|
||
Вернуться к началу | ||
Remark |
|
|
michel
проще, но не понятно как высчитать [math]f1(ti,xi,pi)[/math] если правильно так считать [math]f1({t}_{i},{x}_{i},{p}_{i})={p}_{0}=1[/math] [math]f2({t}_{i},{x}_{i},{p}_{i})=−{w}^{2}{x}_{0}=-36*0=0[/math] тогда конечно, я бы посчитал но в тех книгах, что я прочитал в функциях в скобках указываются аргументы для самого выражения то есть -[math]{w}^{2}x[/math], но в этом выражении нет ни p , ни t. Извиняюсь за все заранее, учусь на заочке, с этим сумбурным изучением ничего хорошо не выходит |
||
Вернуться к началу | ||
SAVANTOS |
|
|
Запись функций от трёх аргументов отражает универсальность предположения о виде правых частей в дифференциальном уравнении. В общем случае правые части могут быть произвольными функциями от своих аргументов. Для численного метода это не важно. Главное уметь вычислять значения таких функций. Конечно, есть ограничения, но они связаны уже с существованием и единственностью решения.
При применении численного интегрирования мы подразумеваем, что с системой ДУ всё хорошо. В вашем случае [math]f_1(t_i,x_i,p_i)=p_i, f_2(t_i,x_i,p_i)=-w^2 x_i[/math]. То что в аргументе функции указаны три аргумента, а на самом деле не все участвуют в выражении функции, то здесь нет ничего не обычного. Например, [math]f_1(t_0,x_0,p_0)=p_0 = 1[/math]. Можно написать функции [math]f(x,y) = 1, x\in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}[/math]. Здесь [math]x, y[/math] явно не участвуют в функции, но это не мешает определить такую функцию. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю SAVANTOS "Спасибо" сказали: Remark, sergebsl |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 17 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решить дифференциальное уравнение методом эйлера
в форуме Дифференциальное исчисление |
6 |
321 |
28 мар 2021, 22:29 |
|
Как решить ДУ методом Эйлера-Коши?
в форуме Maple |
0 |
313 |
23 апр 2018, 21:40 |
|
Решить систему дифференциальных уравнений методом Эйлера. | 3 |
336 |
26 фев 2023, 14:08 |
|
Решить задачу Коши методом Эйлера второго порядка
в форуме Численные методы |
1 |
321 |
16 мар 2019, 14:13 |
|
Решить уравнение, функция Эйлера
в форуме Теория чисел |
5 |
3147 |
03 мар 2016, 02:32 |
|
Сравнение методом Эйлера
в форуме Теория чисел |
4 |
912 |
31 мар 2018, 19:55 |
|
Решение сравнений методом Эйлера
в форуме Теория чисел |
8 |
482 |
10 янв 2021, 09:30 |
|
Решить диф.уравнение методом Бернулли | 0 |
216 |
11 окт 2015, 14:55 |
|
Решить уравнение методом Тейлора
в форуме Ряды |
2 |
264 |
03 ноя 2017, 14:50 |
|
Решить диф.уравнение методом Бернулли
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
250 |
11 окт 2015, 14:59 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |