Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить уравнение методом Эйлера
СообщениеДобавлено: 28 окт 2017, 14:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 окт 2017, 13:57
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{d^2x}{dt^2}=-w^2x[/math]
решить уравнение модифицированным методом Эйлера. Начальные условия: [math]x=0[/math]; [math]dx|dt=1 (t=0)[/math] .Решить данное уравнение при [math]w=6[/math] на интервале [math]0\leqslant t\leqslant3c[/math].

я так понял,что надо надо y заменить на столбцы [math]\binom{x}{x'}[/math] в формуле Эйлера
[math]{y}_{i+1}={y}_{i}+hf({x}_{i}+\frac{h}{2};{y}_{i}+\frac{h}{2}f({x}_{i};{y}_{i}))[/math]
по такому примеру получится
[math]\left\{
\begin{array}{rcl}
x'=x \\
(x')'=-{w}_{2}x \\
\end{array}
\right.[/math]


но не понимаю как дальше делать

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение методом Эйлера
СообщениеДобавлено: 28 окт 2017, 15:27 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 май 2015, 20:47
Сообщений: 131
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как вы написали надо свести к системе второго порядка.

[math]\left\lbrace\begin{align*}
&\dot{x} = p(t),\\
&\dot{p} = \ddot{x}= -w^2 x,\\
& x(0)=0, \\
&\dot{x}(0) = p(0) = 1.
\end{align*}\right.[/math]


Дальше применяете численные методы для интегрирования систем. Находите [math]x(t)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение методом Эйлера
СообщениеДобавлено: 28 окт 2017, 17:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 окт 2017, 13:57
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SAVANTOS спасибо, но не совсем понятно как решить систему методом Эйлера, может подскажите какие учебные пособия или учебники, с подробным описанием. Без системы все было более менее понятно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение методом Эйлера
СообщениеДобавлено: 28 окт 2017, 18:29 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 май 2015, 20:47
Сообщений: 131
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь можно посмотреть на стр. 19. Есть пример решения с разбором, но для метода Рунге-Кутты.

Ещё сайт с краткой информацией.
http://www.toehelp.ru/theory/informat/lecture14.html

А так можно посмотреть любой учебник по численным методам. Например, Численные методы, Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. или Численные методы в примерах и задачах Киреев В.И., Пантелеев А.В.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение методом Эйлера
СообщениеДобавлено: 29 окт 2017, 17:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 окт 2017, 13:57
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SAVANTOS
почитал предложенную Вами литературу, попробовал решить по примеру метода Рунге-Кутты, но только через метод Эйлера. Не прошу за себя решать , прошу проверить и может подсказать в верном ли направлении иду
[math]yi+1=yi+hf(xi+\frac{ h }{2 } ;yi+\frac{ h }{ 2 } f(xi;yi))[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x'= p(t) \\
& p'=-w^2*x
\end{aligned}\right.[/math]

x(0)=0;p(0)=1
опишу подробно

[math]{x}_{0}+\frac{ h }{ 2 }=0+\frac{ 0,1 }{ 2 }=0.05[/math] - 1 аргумент внешней функции
[math]f(x,p)=-w^2*x*0=0[/math] - внутренняя функция
[math]p+\frac{h}{ 2}(x,p)=1+0,05*0=1[/math] - 2 аргумент внешней функции
[math]f({x}_{0}+\frac{ h }{ 2 }=0+\frac{ 0,1 }{ 2 },p+\frac{h}{ 2}(x,p)) = 0,05*(-36)*1=-1.8[/math] - функция в точке
[math]hf=0.1* (-1.8)=-0.18[/math] - умножил на шаг разбиения
[math]{x}_{1} =0-0.18=-0.18[/math] нашел p1

[math]{x}_{1}+\frac{ h }{ 2 }=0.1+\frac{ 0,1 }{ 2 }=0.15[/math] - 1 аргумент внешней функции
[math]f(x1,p1)=-w^2*-0.18*0.1=0.648[/math] - внутренняя функция
[math]p+\frac{h}{ 2}(x,p)=-0.18+0,05*0.648=0.144[/math] - 2 аргумент внешней функции
[math]f({x}_{0}+\frac{ h }{ 2 }=0+\frac{ 0,1 }{ 2 },p+\frac{h}{ 2}(x,p)) = 0,15*0.144*36=0.777[/math] - функция в точке
[math]hf=0.1* (0.777)=0.0777[/math] - умножил на шаг разбиения
[math]{x}_{2} =-0.18 - 0.0777=-0.2577[/math] нашел p2

насколько это все бред или может есть правильное что-то ??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение методом Эйлера
СообщениеДобавлено: 29 окт 2017, 19:15 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 май 2015, 20:47
Сообщений: 131
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кое-что правильно написано, но теперь решается система и функция [math]f(x,y)[/math] зависит от трёх аргументов, а не от двух. Также это не одна функция, а две. Подставлять вместо [math]y[/math], [math](x^\prime, p^\prime)[/math] в формулу для расчёта нового значения нельзя.

Система имеет следующий вид:
[math]\left\lbrace\begin{align*}
&\dot{x} = f_1(t, x, p) = p,\\
&\dot{p} = f_2(t, x, p) = -w^2 x,\\
&x(0) = 0,\\
&p(0) =1.
\end{align*}
\right.[/math]


Формулы для расчёта нового значения будут иметь следующий вид:
[math]\begin{align*}
&x_{i+1} = x_i + h \cdot f_1(t_i + \frac{h}{2}, x_i + \dfrac{h}{2} f_1(t_i,x_i,p_i), p_i + \dfrac{h}{2} f_2(t_i,x_i,p_i)),\\
&p_{i+1} = p_i + h \cdot f_2(t_i + \frac{h}{2}, x_i + \dfrac{h}{2} f_1(t_i,x_i,p_i), p_i + \dfrac{h}{2} f_2(t_i,x_i,p_i) ).
\end{align*}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SAVANTOS "Спасибо" сказали:
Remark
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение методом Эйлера
СообщениеДобавлено: 30 окт 2017, 12:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 окт 2017, 13:57
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SAVANTOS
спасибо большое за помощь, не могли бы еще подсказать как высчитывается [math]{f}_{1}({t}_{i},{x}_{i},{p}_{i})[/math] по системе Р=1, значит и она будет равна 1 , либо же надо каждый аргумент перемножить между собой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение методом Эйлера
СообщениеДобавлено: 30 окт 2017, 13:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1577
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
573 раз в 533 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не проще ли просто загнать все эти формулы (от SAVANTOS), например, в Excel и просто переписать результаты вычислений (пошаговые). Что Вы понимаете под "перемножением аргументов между собой"?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение методом Эйлера
СообщениеДобавлено: 30 окт 2017, 15:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 окт 2017, 13:57
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
проще, но не понятно как высчитать [math]f1(ti,xi,pi)[/math]
если правильно так считать
[math]f1({t}_{i},{x}_{i},{p}_{i})={p}_{0}=1[/math]
[math]f2({t}_{i},{x}_{i},{p}_{i})=−{w}^{2}{x}_{0}=-36*0=0[/math]
тогда конечно, я бы посчитал
но в тех книгах, что я прочитал в функциях в скобках указываются аргументы для самого выражения то есть -[math]{w}^{2}x[/math], но в этом выражении нет ни p , ни t.
Извиняюсь за все заранее, учусь на заочке, с этим сумбурным изучением ничего хорошо не выходит

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение методом Эйлера
СообщениеДобавлено: 30 окт 2017, 19:24 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 май 2015, 20:47
Сообщений: 131
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Запись функций от трёх аргументов отражает универсальность предположения о виде правых частей в дифференциальном уравнении. В общем случае правые части могут быть произвольными функциями от своих аргументов. Для численного метода это не важно. Главное уметь вычислять значения таких функций. Конечно, есть ограничения, но они связаны уже с существованием и единственностью решения.

При применении численного интегрирования мы подразумеваем, что с системой ДУ всё хорошо.

В вашем случае [math]f_1(t_i,x_i,p_i)=p_i, f_2(t_i,x_i,p_i)=-w^2 x_i[/math]. То что в аргументе функции указаны три аргумента, а на самом деле не все участвуют в выражении функции, то здесь нет ничего не обычного.

Например, [math]f_1(t_0,x_0,p_0)=p_0 = 1[/math].

Можно написать функции [math]f(x,y) = 1, x\in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}[/math]. Здесь [math]x, y[/math] явно не участвуют в функции, но это не мешает определить такую функцию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SAVANTOS "Спасибо" сказали:
Remark, sergebsl
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Методом Эйлера решить уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Riven

3

331

26 май 2013, 09:48

Решить сравнение методом Эйлера

в форуме Теория чисел

lowrayder

4

1539

16 сен 2013, 01:23

Решить задачу Коши методом Эйлера

в форуме Численные методы

aligator

1

538

26 май 2013, 22:21

Методом Эйлера решить задачу Коши

в форуме Численные методы

MichNV

2

248

11 ноя 2013, 20:39

Решить уравнение, функция Эйлера

в форуме Теория чисел

Celestia

5

630

03 мар 2016, 03:32

Интегрирование ДУ методом Эйлера (вопрос)

в форуме Численные методы

Morpho

1

346

06 июл 2013, 19:04

Как решить уравнение данное уравнение методом Рунге-Кутта

в форуме Численные методы

Silas

2

530

06 дек 2012, 01:16

Решение СДУ второго порядка методом Эйлера

в форуме Численные методы

kapusta

2

554

26 ноя 2013, 17:58

Составить таблицу численного решения методом Эйлера

в форуме Численные методы

anna6767

2

640

29 сен 2012, 22:21

Решение дифференциальных уравнений н порядка методом Эйлера

в форуме Численные методы

jonygibson

10

481

02 фев 2015, 11:17


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved