Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Экспоненциальная зависимость
СообщениеДобавлено: 18 сен 2017, 19:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 сен 2017, 19:39
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Экспоненциальная зависимость вида: y=a+b[e]^{-alpha x} [/math]. помогите решить (скорее всего метод наименьших квадратов)
y=a+be^-alpha x

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальная зависимость
СообщениеДобавлено: 18 сен 2017, 20:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14670
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 888
Спасибо получено:
3236 раз в 2991 сообщениях
Очков репутации: 619

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
katya01
Пожалуйста, или используйте редактор формул, или добавляйте к сообщениям изображения аккуратно выполненных записей.

И что нужно решить (скорее всего, методом наименьших квадратов, по-Вашему) по формуле
[math]y=a+be^{-\alpha x}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальная зависимость
СообщениеДобавлено: 18 сен 2017, 23:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9990
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3067 раз в 2670 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
katya01, а какие данные есть для аппроксимации?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальная зависимость
СообщениеДобавлено: 19 сен 2017, 13:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 16:16
Сообщений: 8190
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 370
Спасибо получено:
1417 раз в 1292 сообщениях
Очков репутации: 230

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
katya01, можно составить систему трёх уравнений с тремя неизвестными и решить её. Правда это не МНК.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальная зависимость
СообщениеДобавлено: 19 сен 2017, 18:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9990
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3067 раз в 2670 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я когда-то подобную задачу решал. Были следующие заданные экспериментальные точки [math]x[/math] и [math]y[/math] :

x y
1 3.72
2 3.55
3 3.31
4 3.12
5 3.04
6 2.93
7 2.86
8 2.70
9 2.67
10 2.63

Метод наименьших квадратов реализовал в системе Yabasic методом Монте-Карло. Текст проги:

open #1,"exp.txt","r"
open #2,"exp1.txt","w"
dim x(200),y(200),f(200)
z=.001
for i=1 to 10
input #1 x(i),y(i)
print x(i),y(i)
next i
a0=1:b0=1:t0=1
s1=10^100:nn=1000000
for j=1 to nn
a=a0*(1+z*(ran()-.5))
b=b0*(1+z*(ran()-.5))
t=t0*(1+z*(ran()-.5))
s=0
for i=1 to 10
x=x(i)
f(i)=a+b*exp(-t*x)
s=s+(y(i)-f(i))^2
next i
if s<=s1 then
print a,b,t,s
s1=s
a0=a:b0=b:t0=t:sk=s
fi
next j
print
print #2,"a = ";:print #2, a0 ;:print #2," ; ";
print #2,"b = ";:print #2, b0 ;:print #2," ; ";
print #2,"alpha = ";:print #2, t0 ;:print #2," ; "
print #2,"sum s2 = ";:print #2,sk ;
print #2
print a0,b0,t0,sk
print
for i=1 to 10
f=a0+b0*exp(-t0*x(i))
print x(i),y(i),f,y(i)-f
print #2, x(i) using "###",y(i) using "###.##",f using"###.####",y(i)-f using "###.####"
next i

В результате счета менее чем за минуту получил результаты

a = 2.32228 ; b = 1.67975 ; alpha = 0.173328 ;

sum s2 = 0.00743406

(x) (y) (y расч.) (y-y расч)
1 3.72 3.7347 -0.0147
2 3.55 3.5099 0.0401
3 3.31 3.3209 -0.0109
4 3.12 3.1620 -0.0420
5 3.04 3.0284 0.0116
6 2.93 2.9160 0.0140
7 2.86 2.8215 0.0385
8 2.70 2.7421 -0.0421
9 2.67 2.6753 -0.0053
10 2.63 2.6191 0.0109

Здесь sum s2 - минимальная сумма квадратов отклонений.
Как видим. совпадение хорошее:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
katya01
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальная зависимость
СообщениеДобавлено: 20 сен 2017, 18:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 сен 2017, 19:39
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можете еще подсказать. Задача: Два вопроса
1) существует ли предельное время, такое, что ни один человек не сможет пробежать данную дистанцию быстрее?
2) будет ли рекордное время у женщин всегда больше, чем у мужчин?
В качестве исходных данных возьмем результаты победителей олимпийских игр в беге на 200м и с 1900 по 2000 год у мужчин, с 1948г. по 2000г. у женщин.
Данные: год время мужчин время женщин (с)
1900 22.2
1904 21.6
1908 22.6
1912 21.7
1920 22
1924 21.6
1928 21.8
1932 21.2
1936 20.7
1948 21.1 24.4
1952 20.7 23.7
1956 20.6 23.4
1960 20.5 24
1964 20.3 23
1968 19.83 22.5
1972 20 22.4
1976 20.23 22.37
1980 20.19 22.03
1984 19.8 21.81
1988 19.75 21.34
1992 20.01 21.81
1996 19.32 22.12
2000 20.08 20.84
2004 19.79 22.05
2008 19.3 21.74
2012 19.32 21.88
первая колонка год, вторая время мужчин, третья время женщин. Вот эту экспоненциальную зависимость я составила для этой задачи. Подскажи, что считать x и у. Если х это год, а y-время, у меня данные для мужчин и для женщин, какое брать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: П
СообщениеДобавлено: 20 сен 2017, 18:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 сен 2017, 19:39
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можете еще подсказать. Задача: Два вопроса
1) существует ли предельное время, такое, что ни один человек не сможет пробежать данную дистанцию быстрее?
2) будет ли рекордное время у женщин всегда больше, чем у мужчин?
В качестве исходных данных возьмем результаты победителей олимпийских игр в беге на 200м и с 1900 по 2000 год у мужчин, с 1948г. по 2000г. у женщин.
Данные: год время мужчин время женщин (с)
1900 22.2
1904 21.6
1908 22.6
1912 21.7
1920 22
1924 21.6
1928 21.8
1932 21.2
1936 20.7
1948 21.1 24.4
1952 20.7 23.7
1956 20.6 23.4
1960 20.5 24
1964 20.3 23
1968 19.83 22.5
1972 20 22.4
1976 20.23 22.37
1980 20.19 22.03
1984 19.8 21.81
1988 19.75 21.34
1992 20.01 21.81
1996 19.32 22.12
2000 20.08 20.84
2004 19.79 22.05
2008 19.3 21.74
2012 19.32 21.88
первая колонка год, вторая время мужчин, третья время женщин. Вот эту экспоненциальную зависимость я составила для этой задачи. Подскажи, что считать x и у. Если х это год, а y-время, у меня данные для мужчин и для женщин, какое брать?
вот зависимость y=a+be^-alpha x

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальная зависимость
СообщениеДобавлено: 20 сен 2017, 18:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 16:16
Сообщений: 8190
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 370
Спасибо получено:
1417 раз в 1292 сообщениях
Очков репутации: 230

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
katya01 писал(а):
Если х это год, а y-время, у меня данные для мужчин и для женщин, какое брать?

Здесь две зависимости, мужская и женская. Рассматривать следует отдельно. Либо с 1948 года рассматривать зависимость разности времён от года.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальная зависимость
СообщениеДобавлено: 20 сен 2017, 20:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9990
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3067 раз в 2670 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я посмотрел зависимость скорости у мужчин. Она оказалась практически линейной. Вот уравнение:

[math]V_m=22.145-0.0259511(T-1900)[/math]

Практически линейной оказалась экспоненциальная зависимость:

[math]V_m=232.729-210.587\cdot e^{0.000122336(T-1900)}[/math]

Сумма квадратов отклонений 2.34

Для экспоненциальной распечатка:
a = 232.729 ; b = -210.587 ; alpha = 0.000122336 ; 
sum s2 = 2.34671
0 22.20 22.1413 0.0587
4 21.60 22.0382 -0.4382
8 22.60 21.9351 0.6649
12 21.70 21.8319 -0.1319
20 22.00 21.6254 0.3746
24 21.60 21.5221 0.0779
28 21.80 21.4187 0.3813
32 21.20 21.3153 -0.1153
36 20.70 21.2118 -0.5118
48 21.10 20.9010 0.1990
52 20.70 20.7974 -0.0974
56 20.60 20.6936 -0.0936
60 20.50 20.5898 -0.0898
64 20.30 20.4860 -0.1860
68 19.83 20.3821 -0.5521
72 20.00 20.2782 -0.2782
76 20.23 20.1742 0.0558
80 20.19 20.0702 0.1198
84 19.80 19.9661 -0.1661
88 19.75 19.8619 -0.1119
92 20.01 19.7577 0.2523
96 19.32 19.6535 -0.3335
100 20.08 19.5492 0.5308
104 19.79 19.4449 0.3451
108 19.30 19.3405 -0.0405
112 19.32 19.2360 0.0840


График экспоненциальной зависимости (практически совпадает с линейной)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot(232.729+-+210.587+*e%5E(0.000122336*t),t%3D0..112)

Для линейной распечатка:
a = 22.145 ; b = -0.0259511 
sum s2 = 2.33936
0 22.20 22.1450 0.0550
4 21.60 22.0412 -0.4412
8 22.60 21.9374 0.6626
12 21.70 21.8336 -0.1336
20 22.00 21.6260 0.3740
24 21.60 21.5222 0.0778
28 21.80 21.4184 0.3816
32 21.20 21.3146 -0.1146
36 20.70 21.2107 -0.5107
48 21.10 20.8993 0.2007
52 20.70 20.7955 -0.0955
56 20.60 20.6917 -0.0917
60 20.50 20.5879 -0.0879
64 20.30 20.4841 -0.1841
68 19.83 20.3803 -0.5503
72 20.00 20.2765 -0.2765
76 20.23 20.1727 0.0573
80 20.19 20.0689 0.1211
84 19.80 19.9651 -0.1651
88 19.75 19.8613 -0.1113
92 20.01 19.7575 0.2525
96 19.32 19.6537 -0.3337
100 20.08 19.5499 0.5301
104 19.79 19.4461 0.3439
108 19.30 19.3423 -0.0423
112 19.32 19.2385 0.0815


Тут можно сделать два вывода.
1) либо половина результатов замерялась неточно с помощью простых секундомеров.
2) либо тренд линейный и через 100 лет мы увидим результат 16.51 c (по линейной зависимости) или 16,48 с. (по экспоненциальной).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
katya01
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальная зависимость
СообщениеДобавлено: 20 сен 2017, 22:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9990
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3067 раз в 2670 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У женщин тоже линейная зависимость. Но я в вольфраме сопоставил только экспоненциальные. Оказалось, что прямая женщин круче, чем у мужчин и в 2150 году они сравняются по скорости и далее будут бегать быстрее!
Это абсурд, но цифры так показывают.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot(232.729+-+210.587+*e%5E(0.000122336*(t-1900))%26%26427.275-403.548*e%5E(.000099844*(t-1948)),t%3D1948..2300)

Вывод такой: статистика все же мала, точность измерений в первые годы желает лучшего. Но задачу можно решить, если рассматривать не только олимпийские игры, но и все значимые соревнования с атлетами мирового уровня. Если будет около тысячи данных, то уловить тенденцию возможно удастся. Данные только с точными электронными измерениями!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
katya01
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Экспоненциальная регрессия

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

8906

2

392

27 май 2013, 22:56

Найти зависимость

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Irishka09

4

198

07 фев 2013, 12:46

Линейная зависимость

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

maksim-maksim

28

153

05 окт 2017, 16:10

Зависимость и независимость

в форуме Дифференциальное исчисление

Space

4

115

09 сен 2016, 21:10

Зависимость цены

в форуме Экономика и Финансы

drago123

0

40

28 мар 2017, 18:15

Линейная зависимость

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

JustForStudy

1

136

11 окт 2015, 13:49

Зависимость расходов

в форуме Экономика и Финансы

drago123

0

44

28 мар 2017, 18:16

Зависимость издержек

в форуме Экономика и Финансы

drago123

0

42

28 мар 2017, 18:16

Зависимость предельных издержек

в форуме Экономика и Финансы

photographer

1

145

30 мар 2015, 01:12

Доказать линейную зависимость

в форуме Дифференциальное исчисление

lllulll

2

130

23 май 2015, 17:15


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved