Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разностная схема для плоскости и сферы
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 23:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2017, 18:00
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Имеется уравнение переноса в приближении метода сферических гармоник в одномерной геометрии в плоской симметрии:
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{ d f_{1} (x) }{ dx } = G_{0} f_{0} (x) + Q(x) \\
& 2\frac{ d f_{2} (x) }{ dx } + \frac{ d f_{0} (x) }{ dx } = 3G_{1} f_{1} (x) \\
& 3\frac{ d f_{3} (x) }{ dx } + 2\frac{ d f_{1} (x) }{ dx } = 5G_{2} f_{2} (x) \\
& 3\frac{ d f_{2} (x) }{ dx } = 7G_{3} f_{3} (x)
\end{aligned}\right.[/math]


и сферической симметрии:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \left( \frac{ d }{ dr } + \frac{ 2 }{ r } \right) f_{1} (r) = G_{0} f_{0} (r) + Q(r) \\
& 2\left( \frac{ d }{ dr } + \frac{ 3 }{ r } \right) f_{2} (r) + \frac{ d }{ dr }f_{0} (r) = 3G_{1} f_{1} (r) \\
& 3\left( \frac{ d }{ dr } + \frac{ 4 }{ r } \right) f_{3} (r) + 2\left( \frac{ d }{ dr } - \frac{ 1 }{ r } \right) f_{1} (r) = 5G_{2} f_{2} (r) \\
& 3\left( \frac{ d }{ dr } - \frac{ 2 }{ r } \right) f_{2} (r) = 7G_{3} f_{3} (r)
\end{aligned}\right.[/math]


Можно ли построить разностную схему, которая бы описывала и плоский и сферический случай одновременно?
Имеется ввиду, что в схему входят такие характеристики ячеек как площади граней, объёмы и т.д. и если мы подставляем величины для плоских ячеек, то получаем схему для плоскости, а если для сферических ячеек, то схема начинает описывать сферический случай

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разностная схема для плоскости и сферы
СообщениеДобавлено: 25 авг 2017, 05:26 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Едва ли возможно совместить в одной схеме плоский и сферически-симметричный случаи. Даже если вы привлекаете для каждого узла сетки "площади граней" и "объёмы", вам ещё нужно сообщить в расчётную схему, каким образом пересчитывать потоки от одной ячейки к другой. Там все эти [math]1\slash r[/math] и возникнут. В уравнениях они просто сразу в явном виде представлены.

Ещё довод.
Если взять, например, уравнение теплопроводности, и рассчитывать по нему теплоизоляцию, то для плоских и цилиндрических поверхностей всегда найдётся толщина изоляции, при которой потери тепла сколь угодно малы. А для горячего шара - не найдётся. Даже бесконечная теплоизоляция, причём уже прогретая полностью (т.е., в стационарном состоянии), не помогает, шар будет вечно терять тепло (с потоком [math]Q=4\pi r \lambda \Delta T[/math]).

Опять же, принципиально разное поведение, которое обеспечивается за счёт членов с [math]1\slash r[/math], независимо от размеров ячеек.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разностная схема для плоскости и сферы
СообщениеДобавлено: 25 авг 2017, 07:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2017, 18:00
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за ответ, но для уравнения теплопроводности такую схему построить можно, если записать уравнение в следующем виде

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{ 1 }{ r^{2} } \left( \frac{ d }{ dr }r^{2} f_{1}(r) \right) = G_{0}f_{0}(r) + Q(r) \\
& \frac{ d }{ dr }f_{0}(r) = 3G_{1}f_{1}(r)
\end{aligned}\right.[/math]


Затем первое уравнение умножить на [math]4\pi r^{2}[/math] и проинтегрировать по i-той ячейке от [math]r_{i - 1\slash2 }[/math] до [math]r_{i + 1\slash2 }[/math]. Второе уравнение просто записать на грани ячейки , например [math]r_{i + 1\slash2 }[/math]. Получим

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 4 \pi r_{i + 1\slash2 }^{2}f_{1}^{i + 1\slash2 } - 4 \pi r_{i - 1\slash2 }^{2}f_{1}^{i - 1\slash2 } = \left( \frac{ 4 }{ 3 } \pi r_{i + 1\slash2 }^{3} - \frac{ 4 }{ 3 } \pi r_{i - 1\slash2 }^{3} \right) \left( G_{0}^{i}f_{0}^{i} + Q^{i} \right) \\
& \frac{ f_{0}^{i + 1} - f_{0}^{i} }{ l_{i + 1, i} }= 3G_{1}^{i + 1\slash2 } f_{1}^{i + 1\slash2 }
\end{aligned}\right.[/math]


Теперь если заменить объёмы ячеек и площади граней для сферы на величины для плоскости, то получим разностную схему для плоскости.
Но вопрос как то же самое проделать для уравнений из первого поста остаётся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неявная разностная схема С++

в форуме Информатика и Компьютерные науки

OksanaKurbatova

2

324

23 май 2015, 16:59

Разностная схема для гиперболического уравнения

в форуме Численные методы

alex345

0

155

06 сен 2014, 16:12

Неявная разностная схема с третим порядком точности

в форуме Численные методы

LimonadRoma

0

416

19 июн 2013, 18:19

Правая разностная схема с использованием второй производной

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

stut

3

174

05 сен 2014, 09:50

Уравнение сферы,плоскости и прямой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Olga1975

1

317

05 окт 2015, 22:45

Найти касательные плоскости сферы

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

gordan11

1

357

22 май 2013, 16:45

Конечно-разностная аппроксимация ОДУ второго порядка, краева

в форуме Численные методы

Ramzil

1

262

03 мар 2015, 15:02

Схема

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

drago123

4

50

28 ноя 2017, 19:00

Схема

в форуме Электричество и Магнетизм

DeWaldemar

0

161

07 июн 2015, 19:50

Схема Бернулли

в форуме Теория вероятностей

adwerts

10

368

30 ноя 2012, 22:03


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved