Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 09 янв 2016, 17:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 янв 2016, 16:58
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Нужна помощь
Для функции f(x)=1/x построить полином второй степени наилучшего квадратичного приближения на отрезке [1,3] методом наименьших квадратов. :%)
Помогите пожалуйста.. Скоро экзамен. Все горит!!! :nails: :cry: :shock:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 09 янв 2016, 20:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10123
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Опишу современный метод решения. Сначала найдем коэффициенты полинома второй степени, решая систему трех линейных уравнений:

[math]a\cdot 1^2+b \cdot 1+c=1[/math]

[math]a\cdot 2^2+b \cdot 2+c=\frac 12[/math]

[math]a\cdot 3^2+b \cdot 3+c=\frac 13[/math]

Получим: [math]a=\frac 16 \, ; \, \, b=-1 \, ; \, \, c=\frac{11}{6}[/math]

Это неоптимальное решение, но приближенное. Главное, известны знаки коэффициентов. Теперь составим табличку из восьми точек функции [math]y=\frac 1x[/math]:

x  y
1 1
1.1111 0.9
1.1250 0.8
1.4286 0.7
1.6667 0.6
2.0000 0.5
2.5000 0.4
3.0000 0.3333


Эту таблицу оформим в виде текстового файла с именем "xy.txt" (только первую строку, где x и y не набивать).

Теперь пишем программу (мне порще на Yabasic) расчета оптимальных коэффициентов методом Монте-Карло. Там как раз заложен метод наименьих квадратов. Прога очень простая:

open #1,"xy.txt","r"
dim x(100),y(100)
for i=1 to 8
input #1 x(i),y(i)
print x(i),y(i)
next i
a0=0.1667:b0=-1:c0=1.8333
z=.0001:s1=10^50:nn=1000000
for j=1 to nn
a=a0*(1+z*(ran()-.5))
b=b0*(1+z*(ran()-.5))
c=c0*(1+z*(ran()-.5))
s=0
for i=1 to 8
f=a*x(i)^2+b*x(i)+c
s=s+(y(i)-f)^2
next i
if s<=s1 then
print a,b,c,s
ak=a:bk=b:ck=c:sk=s:s1=s
a0=a:b0=b:c0=c
fi
next j


Когда достигнется минимум суммы квадратов отклонений (0.00275), прога слегка зависнет и закончится. Результаты показаны на рисунке (в скобках показаны суммы квадратов отклонений).

Изображение

Быстро, наглядно и безо всяких допотопных таблиц с вычислениями.
Покажите этот метод - профессоров тоже учить надо. Сошлитесь на меня. Несколько статей найдете тут: http://renuar911.blog.ru/141601107.html?attempt=1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Dolgopups_poschadi
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 09 янв 2016, 22:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 янв 2016, 16:58
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое! :)
Было бы прекрасно.
Но, к великому сожалению, использовать подобный вариант решения не получится.
Лабораторные проходили исключительно на SMath с быстрыми решениями. А на экзамене нужно решить "от руки". :shock:


Последний раз редактировалось Dolgopups_poschadi 09 янв 2016, 22:15, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 09 янв 2016, 22:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10123
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, хотя бы ответ знаете. Осталось лишь методичку найти и привести числа в соответствие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Dolgopups_poschadi
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 09 янв 2016, 22:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 янв 2016, 16:58
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Благодарю!))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 10 янв 2016, 03:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10123
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот вроде нашел сервис, который к Вам подходит:
static.php?p=onlayn-mnk-i-regressionniy-analiz

Скопируйте в поле X: 1,1.1111,1.25,1.4286,1.6667,2,2.5,3
В поле Y: 1,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3333

Уровень значимости альфа (в окошке справа) задайте 0.001
Нажмите на окно "Квадратичная регрессия"
Будет подробнейший пример.

Оптимальная регрессия оказалась:

[math]y=0.1731x^2-1.004x+1.8028[/math]

Практически то же, что и у меня.
Только все таблицы есть и прочие корреляции с критериями.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Dolgopups_poschadi
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 10 янв 2016, 04:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 янв 2016, 16:58
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо Вам величайшее!)) Не оставили погибать.. Постараюсь разобраться со всем этим

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 10 янв 2016, 05:58 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 16:16
Сообщений: 8218
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 372
Спасибо получено:
1421 раз в 1296 сообщениях
Очков репутации: 230

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Опишу современный метод решения. Сначала найдем коэффициенты полинома второй степени, решая систему трех линейных уравнений:

[math]a\cdot 1^2+b \cdot 1+c=1[/math]

[math]a\cdot 2^2+b \cdot 2+c=\frac 12[/math]

[math]a\cdot 3^2+b \cdot 3+c=\frac 13[/math]

Получим: [math]a=\frac 16 \, ; \, \, b=-1 \, ; \, \, c=\frac{11}{6}[/math]

Это неоптимальное решение, но приближенное. Главное, известны знаки коэффициентов. Теперь составим табличку из восьми точек функции [math]y=\frac 1x[/math]:

Почему 8? Для функции нужно брать все точки, а их бесконечность на заданном участке. Поэтому суммирование разности квадратов невязок заменяют на интегрирование. Далее приравнивают производную по каждому коэффициенту к нулю берут интегралы и находят его. Это и будет решением безо всяких калькуляторов. А то что вы пишете, это не решение поставленной задачи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 10 янв 2016, 08:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10123
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если все так просто, то почему бы не показать формулы для идеальных значений параметров a, b, c? Очень интересно на них посмотреть!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 10 янв 2016, 10:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10123
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
О! Таланов молодец! Если почитать раздел 3.3.2
http://exponenta.ru/educat/systemat/gri ... heory3.asp

то решение получим так:

Изображение

Тут элементарное решение системы трех линейных уравнений, прираняв их нулю. Результат получаем с абсолютной точностью.
Класс! Именно так и надо делать!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Метод наименьших квадратов; почему именно квадратов?

в форуме Численные методы

tushkan

17

841

04 апр 2015, 16:19

Метод наименьших квадратов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Ryslannn

25

1392

30 янв 2013, 22:00

Метод наименьших квадратов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

ABAB

13

1522

07 дек 2012, 00:14

Метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

Dmitriy70

9

103

18 июн 2017, 16:27

Метод наименьших квадратов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

drive

2

357

10 янв 2014, 18:52

Метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

cincinat

2

219

16 окт 2015, 20:07

Метод Наименьших квадратов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Roma B

9

1039

28 май 2013, 15:08

Обобщенный метод наименьших квадратов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Archij

0

543

30 мар 2013, 12:55

Полином Чебышева, метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

hurricane

1

193

08 мар 2016, 18:48

Аппроксимация данных. Метод наименьших квадратов

в форуме Maple

aflear

34

1065

19 мар 2016, 13:18


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved