Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Построение замкнутого сплайна
СообщениеДобавлено: 28 июл 2015, 21:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 июл 2015, 18:04
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
К сожалению, сейчас в компе только одна подходящая эхограмма, да и то не самая красивая:
ИзображениеИзображение
Измеряется объем справа (монопланово, согласно общепринятого метода Симпсона). Коэффициент масштабирования [math]k=3,73279755519296[/math] пиксель/мм (при исходном размере 960х720 пиксель).
Мне, как пользователю, координаты точек контура неизвестны. Для теста надо будет написать программку для моделирования измерения. Подобное я уже делал для других задач, но для измерения объема пока еще незачем.

Rif писал(а):
Имею в виду чтобы не вышло что мы тут сейчас посчитаем кубический сплайн а в итоге найдем объем "трапецией"

Ну так общепринятый метод вообще на самом деле это метод прямоугольников (честно, я не знаю чего его назвали модифицированным методом Симпсона). Даже трапеция это прогресс. Толщина диска порядка 3-3,5 мм, так что погрешность будет незначительная. Основное, как я считаю, это именно площадь сечения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построение замкнутого сплайна
СообщениеДобавлено: 29 июл 2015, 15:55 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 июл 2015, 12:10
Сообщений: 29
Откуда: Одесса
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не зря я написал в первом посте про изучение математики!
Метод прямоугольников - ...приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах...
По представленному рисунку - очевидно видно что о равенстве половинок отрезков разбиваемых осью на 2 равных стороны речь не идет. Если разбить их "ломанной" осью пополам, то при вычислении объема диски надо будет сместить обратно на "прямую" ось.
Вообще если координаты не известны то как будут заданы исходные данные ? о_О
Про замкнутость есть одна проблемка - при одном и том же значении аргумента функция должна будет иметь два значения функции.
Думаю с данной задачей тут никто не справится ...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построение замкнутого сплайна
СообщениеДобавлено: 29 июл 2015, 17:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 июл 2015, 18:04
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Rif писал(а):
Не зря я написал в первом посте про изучение математики!

Чего мне не хватает, того не хватает. Только прошлой ночью случайно узнал, что [math]p(x)=h_0_0(t)p_0+h_1_0(t)hm_0+h_0_1(t)p_1[/math][math]+h_1_1(t)hm_1[/math] оказывается функция, заданная параметрически (позавчера я вообще не знал что это такое). И для оных, оказываетя, существуют методы расчета площадей под графиком.

Rif писал(а):
Метод прямоугольников - ...

Согласен, неправильно выразился. Смысл в том, что это и не метод Симпсона.

Rif писал(а):
Вообще если координаты не известны то как будут заданы исходные данные ?

В начале напишу программку и испытаю работу (опыт подобного имеется), а в дальнейшем будут даны рекомендации производителям мед. оборудования.

Rif писал(а):
Думаю с данной задачей тут никто не справится ...

Кажется, я уже нашел решение (ночью приснилось :) ).
Изображение
(график немножко кривой из-за особенностей экселя, начало дуги эллипса он почему-то рисует неправильно)

Начало координат - в точке пересечения. Получаем координаты каждой точки. Дугу AB рисуем как эллипс, проходящий через точки АВ и с центром в начале координат. Аналогично CD описываем как эллипс с точками C и D, тоже самое на участках DE & FA.
Участок BC задаем уравнением [math]\left( \frac{ x^2 }{ a^2 } + \frac{ y^2 }{ b_1^2 } \right)\cos^2{t \frac{ \pi }{ 2 } }+[/math][math]\left( \frac{ x^2 }{ a^2 } + \frac{ y^2 }{ b^2_2 } \right)\sin^2{t \frac{ \pi }{ 2 } }=1[/math] (далее упрощается)
где [math]t=\frac{ x-x_1 }{ x_2-x_1 } \in \left\lceil{ 0;1 }\right\rceil, a=\frac{ AD }{ 2 }, b_1[/math] второй диаметр эллипса, проходящего через точки A & B, [math]b_2[/math] - чер С и В.
Участок EF описывается аналогично.

Еще до конца не довел, но вроде все должно получиться. По крайней мере при равных 3 диаметрах укладывается четко в круг, а при равных двух - в эллипс. И это легко доказывается.

Может кто-то еще посоветует, как это оптимизировать?
Да, и это уравнение имеет какое-то имя? Наверняка же изобрел велосипед

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построение замкнутого сплайна
СообщениеДобавлено: 30 июл 2015, 16:44 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 июл 2015, 12:10
Сообщений: 29
Откуда: Одесса
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если быть более точным, то в случае равенства двух отрезков будет эллипс лишь в том случае если третий отрезок имеет длину б0льшую чем первые два.
Изображение
p.s.
Метод Симпсона - суть заключается в приближении функции на отрезке [a,b] параболой (многочленом второй степени)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Rif "Спасибо" сказали:
andreymatiashchuk
 Заголовок сообщения: Re: Построение замкнутого сплайна
СообщениеДобавлено: 30 июл 2015, 18:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 июл 2015, 18:04
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Немного продвинулся, правильное уравнение другое:
[math]y= \pm (b_1\cos^2{t\frac{ \pi }{ 2 }+b_2\sin^2{t\frac{ \pi }{ 2 } } } )\sqrt{1-\frac{ x^2 }{ a^2 } }[/math]
С плюсом для BC, с минусом - для EF.

Возникла другая проблема, не могу взять интеграл вот с этого:
[math]\int \cos{( \pi \frac{ x-x_1 }{ x_2-x_1 } )}\sqrt{a^2-x^2}dx[/math]

Интегрирую по частям:
[math]u=\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow du=-\frac{ x }{ \sqrt{a^2-x^2} }dx[/math]
[math]dv=cos{( \pi \frac{ x-x_1 }{ x_2-x_1 } )}dx \Rightarrow v=\frac{ x_2-x_1 }{\pi}sin{( \pi \frac{ x-x_1 }{ x_2-x_1 } )}[/math]
Соединяем:
[math]\int \cos{( \pi \frac{ x-x_1 }{ x_2-x_1 } )}\sqrt{a^2-x^2}dx=[/math][math]\sqrt{a^2-x^2}\frac{ x_2-x_1 }{\pi}sin{( \pi \frac{ x-x_1 }{ x_2-x_1 } )}+\frac{ x_2-x_1 }{\pi}\int \frac{ x sin{( \pi \frac{ x-x_1 }{ x_2-x_1 } )} }{ \sqrt{a^2-x^2} }dx[/math]
Опять интеграл, который можно пробовать решать по частям, который приводит к уравнению типа 2=2

Пробовал разложить по другому, но безрезультатно. Помогите, кто чем может :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построение замкнутого сплайна
СообщениеДобавлено: 30 июл 2015, 23:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 июл 2015, 18:04
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кста, это же уравнение [math]y= \pm (b_1\cos^2{t\frac{ \pi }{ 2 }+b_2\sin^2{t\frac{ \pi }{ 2 } } } )\sqrt{1-\frac{ x^2 }{ a^2 } }[/math] можно задать и параметрически:
[math]x= acos{t},
y=\sin{t}(b_1\cos^2{\frac{ \pi }{ 2 } z} +b_2\sin^2{\frac{ \pi }{ 2 } z})[/math]
, [math]0 \leqslant t \leqslant 2 \pi, z=\frac{ x-x_1 }{ x_2-x_1 } \in \left\lceil{ 0;1 }\right\rceil[/math]
Может с этого интеграл возьмется...

____________________ добавлено______________________
Нет, там вообще интегралы косинуса от косинуса, и все перемноженное еще на косинус выползают.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построение замкнутого сплайна
СообщениеДобавлено: 31 июл 2015, 10:50 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 июл 2015, 12:10
Сообщений: 29
Откуда: Одесса
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интегрировать не обязательно - особенно если нет соответствующей практики.
Достаточно воспользоватся тем же методом прямоугольников.
Для этого необходимо разбить интервал на какое-то количество промежутков - допустим на 10 или на 100.
Затем вычислить значения функции в точках разбиения.
Потом умножить эти значения на величину промежутка (диаметр разбиения по умному :) ) и просумировать.
В итоге выйдет сумма площадей прямоугольников. Надеюсь смысл понятен. За формальностями можно обратится в википедию.
Данный метод прост для алгоритмизации и машинного счета.
Удачи!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построение замкнутого сплайна
СообщениеДобавлено: 31 июл 2015, 11:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11671
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 795
Спасибо получено:
1984 раз в 1822 сообщениях
Очков репутации: 314

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А ещё площадя (определённые интегралы) можно вычислять методом Монте-Карло. Но лучше всё-таки приближать рядом Фурье.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построение замкнутого сплайна
СообщениеДобавлено: 03 авг 2015, 20:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 июл 2015, 18:04
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Talanov писал(а):
Но лучше всё-таки приближать рядом Фурье.

Хочу уточнить. Есть функция [math]f(x)[/math], интеграл из которой не берется (верно же, не берется?). Задача посчитать площадь. Варианты решения:
1) Взять саму функцию [math]f(x)[/math] и посчитать площадь методом Симпсона
2) Аппроксимировать ее рядом Фурье, получив при этом некую [math]\phi (x)[/math]. Далее посчитать площадь, взяв интеграл из [math]\phi (x)[/math]

Какой метод более точный?

Первый вариант уже набросал в экселе, все работает. Думаю, что погрешность будет вполне допустимая. Немного расстраивает другое: из-за приближенных вычислений не получил я красивой, элегантной формулы, на что очень надеялся :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построение замкнутого сплайна
СообщениеДобавлено: 05 авг 2015, 10:46 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 июл 2015, 12:10
Сообщений: 29
Откуда: Одесса
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не советую заморачиваться аппроксимамацией - это отдельная большая тема.
То же самое про интегрирование - отдельная большая проблема.
Вычисление площади численным методом Симпсона, либо аналогичных ИМХО лучший вариант.
Про Монте-Карло почитал, интереснейшая штука! Как я понял, суть в том чтобы найти "корреляцию" между нашей "не интегрируемой" зависимостью и "интегрируемой" другой зависимостью и т.о. вычислить определенный интеграл - по сути аппроксимация чтоли :unknown: .
А погрешность метода Симпсона есть формула, помню у меня с ней еще в институте были проблемы - там что-то про четвертую производную ... вообщем темный лес :) .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.  Страница 3 из 4 [ Сообщений: 31 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Образ замкнутого множества

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

wrobel

8

119

16 янв 2024, 15:08

Базис замкнутого класса

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

slog

5

314

22 июн 2016, 22:06

Работа силы вдоль замкнутого контура Г

в форуме Интегральное исчисление

Nataliya709

2

257

02 июн 2022, 21:02

Коэффициенты сплайна

в форуме Численные методы

pacha

8

602

30 сен 2018, 18:47

Что есть энергия сплайна

в форуме Численные методы

uiiiiiii

3

264

01 апр 2022, 01:58

Значение в произвольной точке сплайна

в форуме Численные методы

Artaner

14

1053

20 май 2016, 08:04

Гладкость отсеков плоского B-сплайна

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

TheEpicDwarf

3

332

17 янв 2017, 14:03

Поиск значения функции от сплайна

в форуме Численные методы

nikalnp

5

208

08 дек 2019, 12:18

Поиск коэффициентов кубического сплайна

в форуме Численные методы

uiiiiiii

3

271

29 мар 2022, 04:09

Циклические граничные условия для кубического сплайна

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Chudvan

1

294

06 июн 2020, 01:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved