Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Полиномы Чебышева.
СообщениеДобавлено: 28 окт 2013, 20:59 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 17:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер, уважаемые форумчане!

Возник вопрос, в лекциях тема "Аппроксимация данных. Метод Чебышева"
Приводится пример, нужно по табличным данным найти аппроксимирующий полином второй степени:
Изображение

Я нашла, что полиномы Чебышева выглядят так:
[math]P_0(x)=0, P_1(x)=x, P_2(x)=2x^2+1[/math]
последняя строка по моим расчетам не сошлась с лекционной. В лекциях выведена формула такая
[math]P_2(x)=x^2-\frac {n(n-1)}{12}[/math] А откуда она такая нарисовалась? В полиномах Чебышева я такого не видела. Может, что-то связано с четностью n. Сдаюсь, целый день убила на рассмотрение данного примера, не понимаю, что я упускаю, ведь, по идее все просто? Заранее благодарю за ответ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Чебышева.
СообщениеДобавлено: 28 окт 2013, 21:55 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 14:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
159 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Такой формулы в принципе быть не может - кто то из вас глючит или вы или лектор.
Для полиномов Чебышева, как и для всех остальных классических полинов, существуют рекурентные формулы, но в данном случае, приводимая вами формула, ничего общего с истиной не имеет.
PS. Я все таки подозреваю, что вы или что то неправильно списали или влюбились, или был рассеяным лектор, а может он влюбился. :puzyr:) :witch:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Чебышева.
СообщениеДобавлено: 28 окт 2013, 22:19 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 17:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N писал(а):
Такой формулы в принципе быть не может - кто то из вас глючит или вы или лектор.
Для полиномов Чебышева, как и для всех остальныхклассических полинов, существуют рекурентные формулы, но в данном случае, приводимая вами формула, ничего общего с истиной не имеет.
PS. Я все таки подозреваю, что вы или что то неправильно списали или влюбились, или был рассеяным лектор, а может он влюбился. :puzyr:) :witch:


Я помогаю мужу разобраться :D1 Свои университетские годы давно позади, читаю его лекции и не могу понять в чем дело. Вот кусок именно из его лекции:

Аппроксимация данных. Метод Чебышева.
1. Строится система полиномов Чебышева, ортогональных на данном множестве узлов
[math]P_0(x), P_1(x),...,P_n(x)[/math]
[math]deg P_0(x)=0, degP_1(x)=1, ...[/math]
[math]\sum^{n}_{i=0} {P_k(x_i)P_l(x_i)}=0, k \ne l -[/math] ортогональность
[math]\sum^{n}_{i=0} {P_k^2(x_i)}=N_k^2[/math], где [math]N_k^2[/math] - нормированный множитель для полиномов [math]P_k(x)[/math]
2. m - степень аппроксимирующего полинома [math]m \ll n[/math]
Коэффициент разложения аппроксимирующего полинома Р(х) по полиномам Чебышева:
[math]C_k=\frac {1} {N_k^2} \sum^{n}_{i=0} {y_iP_k(x_i)}[/math]
При заданной степени аппроксимирующего полинома, выбор коэффициентов [math]C_k[/math] обеспечивает минимум суммы квадратов невязки.
3. [math]P(x)= \sum^{m}_{k=0} {C_kP_k(x)}[/math]
Покажем, как строить систему полиномов Чебышева для множества узлов, равноотстоящих друг от друга с шагом 1 и расположенных симметрично от начала оси координат
n - четное

и дальше идет пример, который я привела в первом своем сообщении.

Т.е. из примера мне не понятно, как получается строка [math]P_3(x)[/math]
раз в строке [math]P_2(x)[/math] идет полное повторение строки с [math]x[/math] я подозреваю, что речь идет о первом роде многочленов Чебышева. Тогда [math]P_3(x) = 2x^2 - 1[/math] Явно не сходится

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Чебышева.
СообщениеДобавлено: 28 окт 2013, 23:30 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 14:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
159 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начало вроде правильное, хотя я уже лет 30, как эти вещи не смотрел, и последняя формула тоже точна. Но середина с примером - полный провал - ничего не могу сказать и говорить не хочу - возможно у вашего мужа было временное замешательство. :Rose: Посмотрите в Википедии, точнее поисковиком наберите полиномы Чебышева и посмотрите рекурентную формулу - я на память не помню, xoтя писал прогу много лет назад на эти полиномы ради любопытства.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
paradise
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Чебышева.
СообщениеДобавлено: 28 окт 2013, 23:42 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 17:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот, собственно, решила полностью по методу, приведенному преподавателем пример, получилось:

Изображение

Но это [math]P_2(x)[/math] мне жить спокойно не дает со вчерашнего вечера. Сделала, очевидно, правильно, потому как сегодня решала методом наименьших квадратов, ответ один в один сошелся, но вот логики я так и не узрела :(
А рекуррентное соотношение очень простое для полинома первого рода:
[math]T_0(x)=1, T_1(x)=x, T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Чебышева.
СообщениеДобавлено: 28 окт 2013, 23:49 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 14:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
159 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Какая тут логика, если [math]T_2=2x^2-1[/math], а у вас [math]P_2(x)=2x^2-4[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Чебышева.
СообщениеДобавлено: 28 окт 2013, 23:51 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 17:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N писал(а):
Какая тут логика, если [math]T_2=2x^2-1[/math], а у вас [math]P_2(x)=2x^2-4[/math] ?


в том-то и дело, что ни-ка-кой :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Чебышева.
СообщениеДобавлено: 29 окт 2013, 13:30 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 17:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день. :Rose:

Все-таки я разобралась со своей проблемой, возможно, на будущее кому-то пригодится.

Источник: Приложение ортогональных полиномов Чебышева

И далее мои расчеты, согласно источнику:
Изображение

2 Alexander N
спасибо Вам за помощь!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Чебышева.
СообщениеДобавлено: 11 июн 2017, 00:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 июн 2017, 23:22
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
объясните пожалуйста тогда как найти коэффициенты вот таких функций как на картинке, когда число y не совпадает с числом x которое еще и имеет свою размерность, единственное что понял это то что количество коэффициентов зависит от заданного степеня полинома Чебышева а как считать не могу понять
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Полиномы Чебышева-Лагерра

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Nevereth

5

187

20 дек 2015, 00:20

Полиномы Чебышева - Эрмита

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Merhaba

3

564

14 май 2013, 10:31

Интерполяция функций степенным рядом,полиномы Чебышева

в форуме Численные методы

babat

8

550

08 дек 2013, 16:28

Полиномы

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

art25685

12

270

11 июл 2016, 18:59

Полиномы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

misnammm

7

203

24 фев 2014, 17:02

МКЕ и Полиномы высокого порядка

в форуме Численные методы

sidoro89

1

209

14 фев 2012, 17:31

Многомерные полиномы, расчеты.

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

and1

0

150

29 мар 2014, 07:17

Интерполяция, полиномы Лагранжа в паскале. Недочет в коде

в форуме Численные методы

Nichtswisser

0

598

22 апр 2014, 00:57

Неравенство Чебышева

в форуме Теория вероятностей

DeWaldemar

1

118

14 апр 2015, 19:39

Неравенство Чебышева

в форуме Теория вероятностей

Crossproi

1

331

12 мар 2013, 21:30


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved