Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача Коши методом Эйлера и Рунге-Кутты
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 18:05 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите с решением.

I.2.[math]x'+5x=e^{-5t}cos(t);x(0)=1[/math]

[math]x'+5x=0[/math]

[math]\frac{dx}{dt}=-5x[/math]

[math]\int \frac{dx}{5x}=-\int dt[/math]

[math]\frac{1}{5}ln|x|=-t*C(t)[/math]

[math]ln|x|=-5t*C(t)[/math]

[math]x=e^{-5t}*C(t)[/math]

[math]-5e^{-5t}*C(t)+e^{-5t}*C'(t)+5e^{-5t}*C(t)=e^{-5t}cos(t)[/math]

[math]\int C'(t)=\int cos(t)[/math]

[math]C(t)=sin(t)+C[/math]

[math]x=e^{-5t}(sin(t)+C)[/math]

Найдем частные решения:

[math]1=1*(sin(0)+C)[/math]

[math]C=1[/math]

[math]x=e^{-5t}(sin(t)+1)[/math]
____________________________________________
Решить задачу Коши I.2. приближенно методом Эйлера и Рунге-Кутты с шагом 0.1 на отрезе [0;1]. Сравнить приближенное решение с точным (графически).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Коши методом Эйлера и Рунге-Кутты
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 20:43 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А в задании было сказано решить задачу Коши аналитически?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Коши методом Эйлера и Рунге-Кутты
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 21:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
Crossproi писал(а):
Сравнить приближенное решение с точным

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Коши методом Эйлера и Рунге-Кутты
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 21:26 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Обычно задание пишут в начале :D1

Чем возиться с методом произвольной постоянной, лучше разделить обе части уравнения на [math]e^{-5t}[/math] (или умножить на [math]e^{5t}[/math]), получим
[math]e^{5t}\cdot x'+5e^{5t}\cdot x=\cos{t}[/math] или

[math]\left(x\cdot e^{5t}\right)'=\cos{t}[/math]

А дальше просто проинтегрировать обе части этого равенства.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Коши методом Эйлера и Рунге-Кутты
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 21:53 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Чем возиться с методом произвольной постоянной, лучше разделить обе части уравнения на (или умножить на ), получим
или



А дальше просто проинтегрировать обе части этого равенства.


Это конечно замечательно увидеть производную произведения :) :) и упростить решение, но а что собственно с основным заданием, а именно:
Crossproi писал(а):
Решить задачу Коши I.2. приближенно методом Эйлера и Рунге-Кутты с шагом 0.1 на отрезе [0;1].

Как её решать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Коши методом Эйлера и Рунге-Кутты
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 22:02 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так у вас ведь написано: методом Эйлера и методом Рунге-Кутта (кстати, какого порядка?).
Формулы этих методов нашли?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Коши методом Эйлера и Рунге-Кутты
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 22:20 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
(кстати, какого порядка?).

Я полностью процитировавший задание. Про порядок ничего не сказано.

mad_math писал(а):
Формулы этих методов нашли?

Скажем так... это задание выходит за рамки тех знаний, который я должен иметь на данный момент, и делается мной исключительно для саморазвития)))
Так что пока мои познания равны нулю(
Я думал если не пример решения, то хотя бы ссылку на нужную литературу получить))) А то в сети много всякой информации по этому поводу и вся разная :D1 и черт его поймешь какая нужна мне))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Коши методом Эйлера и Рунге-Кутты
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 22:49 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решением будет сеточная функция:
ntx
0[math]t_0[/math][math]x_0[/math]
1[math]t_1[/math][math]x_1[/math]
2[math]t_2[/math][math]x_2[/math]
.........
i[math]t_i[/math][math]x_i[/math]
.........
n[math]t_n[/math][math]x_n[/math]

где [math]t_0=0, t_i=t_0+h\cdot i, x_0=x(0)=1[/math],
по методу Эйлера [math]x_i=x_{i-1}+h\cdot f(x_{i-1},y_{i-1})[/math]

Т.е. [math]t_1=t_0+0,1\cdot 1=0,1,\,x_1=x_0+0,1\cdot\left(e^{-5\cdot t_0}\cos{t_0}-5\cdot x_0\right)=1+0,1\cdot\left(e^{-5\cdot 0}\cos{0}-5\cdot 1\right)=[/math]

[math]=1+0,1\cdot\left(1-5)=1+0,1\cdot(-4)=1-0,4=0,6[/math]

и т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Crossproi
 Заголовок сообщения: Re: Задача Коши методом Эйлера и Рунге-Кутты
СообщениеДобавлено: 15 апр 2013, 00:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
кстати, какого порядка?

Насколько я знаю, если порядок не указывается, то имеется ввиду четвертого порядка.

Crossproi писал(а):
нужную литературу

А.А. Самарский, А.В. Гулин, Численные методы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Коши методом Эйлера и Рунге-Кутты
СообщениеДобавлено: 15 апр 2013, 13:23 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Только вы наверно имели ввиду [math]f(x_{i-1},t_{i-1})[/math], но думаю это просто опечатка :D1 Иначе я не понимаю какой там игрик))

Почему [math]t_{0}=0[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 23 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача Коши методом Рунге - Кутта

в форуме MathCad

ekktank

0

431

25 дек 2015, 11:15

Метод Рунге-Кутты

в форуме Численные методы

fulmac

1

220

17 мар 2019, 15:55

Метод Рунге-Кутты

в форуме Численные методы

TWIT

2

324

25 окт 2020, 20:12

Метод Рунге - Кутты

в форуме Численные методы

dddsss

1

317

10 мар 2020, 10:20

Применение метода Рунге-Кутты 4 порядка

в форуме Численные методы

koidula

13

715

10 апр 2019, 21:26

Рунге-Кутты для дифф. уравнений с запаздыванием

в форуме Численные методы

Monkey King

0

265

13 май 2016, 09:09

Дифференциальное уравнение 2-го порядка. Метод Рунге-Кутты

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

s2dentishe

34

1794

02 апр 2015, 19:20

Как решить ДУ методом Эйлера-Коши?

в форуме Maple

Valery12

0

313

23 апр 2018, 21:40

М-функция для решения задачи Коши методом ломаных Эйлера

в форуме MATLAB

MAKSUS_87

0

644

12 апр 2014, 19:47

Решить задачу Коши методом Эйлера второго порядка

в форуме Численные методы

Knyazhe

1

321

16 мар 2019, 14:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved