Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Самое короткое доказательство
СообщениеДобавлено: 09 мар 2019, 07:51 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2018, 10:04
Сообщений: 327
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
9 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теорема. Уравнение [math]a^3 + b^3 = c^3[/math] не имеет решений в действительных числах [math]a, b, c[/math].
Доказательство.
Примем для удобства [math]a < b < c[/math]
Запишем исходное уравнение в виде:
(1) [math]a^3 + 8(b \slash 2)^3 = 27(c \slash 3)^3[/math]
Рассуждения сводятся к выяснению вопроса о том, какое из трёх чисел [math]a^3, (b \slash 2)^3, (c \slash 3)^3[/math] является наименьшим.

Рассмотрим по отдельности каждый из трёх возможных вариантов.

1). Число [math]a^3[/math] является наименьшим среди трёх чисел [math]a^3, (b \slash 2)^3, (c \slash 3)^3[/math].
2). Число [math](b \slash 2)^3[/math] является наименьшим.
3). Число [math](c \slash 3)^3[/math] является наименьшим.

Случай 1. Убедимся, что число [math]a^3[/math] не может быть самым маленьким.

Запишем равенство:
(2) [math](c \slash 3)^3 + 8(c \slash 3)^3 = 9(c \slash 3)^3[/math]
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2)
[math]a^3 – (c \slash 3)^3 = 18(c \slash 3)^3[/math]
(3) [math]a^3 = 19(c \slash 3)^3[/math]

Вывод 1. Число [math]a^3[/math] не может быть самым маленьким.

Случай 2. Убедимся, что число [math](b \slash 2)^3[/math] не может быть наименьшим.

Запишем уравнение:
(4) [math](b \slash 2)^3 + 8(b \slash 2)^3 = 9(b \slash 2)^3[/math]
Вычтем уравнение (4) из уравнения (1):
[math]a^3 – (b \slash 2)^3 = 9[(c \slash 3)^3 – (b \slash 2)3] + 18(c \slash 3)^3[/math]
[math]a^3 – (b \slash 2)3 = 9[(c \slash 3)^3 – (b \slash 2)^3] + 18(c \slash 3)^3[/math]
Поскольку число [math](b \slash 2)^3[/math] самое маленькое, обе части уравнения положительны. Однако правая часть уравнения составляет более двух третей величины [math]c^3[/math], тогда как в левой части только часть малого куба [math]a^3[/math], то есть меньше половины суммарной величины [math](a^3 + b^3)[/math].

Вывод 2. Число [math](b \slash 2)^3[/math] не может быть самым маленьким.

Случай 3. Убедимся, что число [math](c \slash 3)^3[/math] не может быть наименьшим.

Запишем равенство:
(5) [math]3(c \slash 3)^3 + 24(c \slash 3)^3 = 27(c \slash 3)^3[/math]
Вычтем из уравнения (1) уравнение (5)
[math]a3 – 3(c \slash 3)^3 + 8[(b \slash 2)^3 – 3(c \slash 3)^3] = 0[/math]
Если [math]a^3 – 3(c \slash 3)^3 < 0[/math], то [math](b \slash 2)^3 – 3(c \slash 3)^3 > 0[/math], или наоборот. Это значит, что число [math]3(c \slash 3)^3[/math]
либо больше числа [math]a^3[/math], либо больше числа [math](b \slash 2)^3[/math]
Ни в том, ни в другом случае число [math](c \slash 3)^3[/math] не является наименьшим.

Остаётся единственный вариант: все три числа [math]a^3, (b \slash 2)^3, (c \slash 3)^3[/math] одинаковы, но в этом случае большой куб превосходит суммарную величину двух малых кубов.

Окончательный вывод: Если числа [math]a, b, c[/math] являются действительными, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов: [math]a^3+b^3<c^3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Самое короткое доказательство
СообщениеДобавлено: 09 мар 2019, 07:55 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Самый короткий анекдот:
Баня - через дорогу раздевалка.
;)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Самое короткое доказательство
СообщениеДобавлено: 09 мар 2019, 09:15 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Spirin
Вот объясните, как, вычитая из [math]{a^3} + 8{\left( {\frac{b}{2}} \right)^3} = 27{\left( {\frac{c}{3}} \right)^3}[/math] выражение [math]{\left( {\frac{c}{3}} \right)^3} + 8{\left( {\frac{c}{3}} \right)^3} = 9{\left( {\frac{c}{3}} \right)^3}[/math], у вас "исчезает" [math]8{\left( {\frac{b}{2}} \right)^3}[/math]? Я в вычитаемом выражения [math]8{\left( {\frac{b}{2}} \right)^3}[/math] вообще не вижу. Из-за того, что вы неправильно получили разность, ваш вывод не соответствует действительности. А ведь это еще только первый пункт вашего доказательства.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Самое короткое доказательство
СообщениеДобавлено: 09 мар 2019, 11:47 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2018, 10:04
Сообщений: 327
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
9 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
underline писал(а):
ваш вывод не соответствует действительности.

Если из [math]8(b \slash 2)^3[/math] вычесть [math]8(b \slash 2)^3[/math], может получиться не ноль?
Объясните, если не затруднит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Самое короткое доказательство
СообщениеДобавлено: 09 мар 2019, 12:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Spirin писал(а):
Запишем исходное уравнение в виде:
(1) [math]a^3 + 8(b \slash 2)^3 = 27(c \slash 3)^3[/math]

Запишем равенство:
(2) [math](c \slash 3)^3 + 8(c \slash 3)^3 = 9(c \slash 3)^3[/math]
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2)
[math]a^3 – (c \slash 3)^3 = 18(c \slash 3)^3[/math]

Откуда у Вас получилось последнее соотношение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Самое короткое доказательство
СообщениеДобавлено: 09 мар 2019, 12:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Spirin писал(а):
Теорема. Уравнение [math]a^3+b^3=c^3[/math] не имеет решений в действительных числах [math]a,b,c[/math].

Разве!!??
А числа [math]1, 2, \sqrt[3]{9}[/math], обясните пожалуйста действительные числа или какие нибудь другие ?
Потому что :
[math]1^3 + 2^3 = (\sqrt[3]{9} )^3 = 9[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Самое короткое доказательство
СообщениеДобавлено: 09 мар 2019, 12:24 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2018, 10:04
Сообщений: 327
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
9 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
А числа [math]1,2,\sqrt[3]{9}[/math], обясните пожалуйста действительные числа или какие нибудь другие ?

Если в моём доказательстве нет ошибок, то корень кубический из девяти не является действительным числом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Самое короткое доказательство
СообщениеДобавлено: 09 мар 2019, 12:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Spirin писал(а):
Цитата:
А числа [math]1,2,\sqrt[3]{9}[/math], обясните пожалуйста действительные числа или какие нибудь другие ?

Если в моём доказательстве нет ошибок, то корень кубический из девяти не является действительным числом.

Не лучше ли Вам взять стандартный учебник Алимова, Колягина для 10-11 классов по алгебре и началам анализа и прочитать определение действительного числа?
Что касается правильности Ваших преобразований, то Вам уже указали на ошибочность вычитания из уравнения 1) уравнения 2)!


Последний раз редактировалось michel 09 мар 2019, 12:30, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Самое короткое доказательство
СообщениеДобавлено: 09 мар 2019, 12:30 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2018, 10:04
Сообщений: 327
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
9 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Откуда у Вас получилось последнее соотношение?

Я отнял уравнение (2) из уравнения (1).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Самое короткое доказательство
СообщениеДобавлено: 09 мар 2019, 12:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неправильно отняли!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.    На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.  Страница 1 из 5 [ Сообщений: 41 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как выжить короткое время, оставшись без воды и топлива?

в форуме Размышления по поводу и без

Talanov

60

1119

19 мар 2022, 07:36

Самое начало тригонометрии

в форуме Тригонометрия

sfanter

1

445

06 ноя 2015, 07:15

Самое важное в решении примеров

в форуме Размышления по поводу и без

whopper

4

669

20 июл 2014, 00:58

Самое сложное. Исследовать сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

CBETAV

3

313

11 янв 2015, 19:37

Выбрать тему курсовой, что самое интересное?

в форуме Информатика и Компьютерные науки

adeptus7

2

343

22 июн 2017, 21:59

Док-во 2ой теоремы Больцано-Коши самое начало

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

afraumar

3

355

23 фев 2015, 15:47

Самое объёмное литературное произведение в истории

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

4

90

23 фев 2024, 00:43

Самое маленькое натуральное число, которого нет в Интернете

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

7

438

04 окт 2017, 15:12

Какое наименьшее значение может иметь самое маленькое из эти

в форуме Алгебра

top234

6

197

29 окт 2020, 20:41

Доказательство

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

constantin01

0

210

10 апр 2020, 09:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved