Задача про эндоморфизм и автоморфизм

Здравствуйте,
такое задание: [math]\mathcal{A}[/math] это структура с двухзначным символов отношения E. Доказать или опровергнуть если f : [math]\mathcal{A} \to \mathcal{A}[/math] инъективный эндоморфизм тогда f это автоморфизм.

Думаю доказывать надо.
Эндоморфизм это гомоморфизм из структуры в саму себя. Если гомоморфизм из А в А будет еще и инъективным то это будет биективный гомоморфизм а биективный гомоморфизм это уже изоморфизм. Из за того что этот изоморфизм отображается из А в А то он является автоморфизмом.
Как доказательство начать делать?

(готов заплатить за решение! очень срочно нужно плиз)

Инъективный эндоморфизм является обратимым, следовательно автоморфизмом.

K1b0rg, рассмотрите случай, когда носитель есть множество натуральных чисел, [math]E[/math] интерпретируется как совпадение, а [math]f(n)=2n[/math].

Что это значит?

Если это будет доказано для бесконечного множества, то для конечного уже не надо доказывать?

Слова "предикатный символ E интерпретируется" становятся понятными из определения алгебраической структуры для сигнатуры (или интерпретации для языка). Слово "совпадение" имеет свой обычный смысл.

Отрицание утверждения вида [math]\forall x\,P(x)[/math] равносильно [math]\exists x\,\neg P(x)[/math]. Истинность же последнего утверждения требует существования хотя бы одного такого [math]x_0[/math], который делает предикат [math]P[/math] ложным. В определении квантора существования нигде не говорится, что требуется наличие более одного свидетеля.

Но исходное утверждение верно для конечных структур по принципу Дирихле.

Высказывание точно истинно?

Например f(x)=x+1 тоже инъективный эндоморфизм а на 0 не отображается поэтому не автоморфизм

Исходное высказывание в общем случае ложно на бесконечных структурах, как говорится в сообщении 3, и [math]f(x)=x+1[/math] — это еще один контрпример.