Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Отражения и свойства
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=62&t=73137
Страница 1 из 2

Автор:  Gushidomo [ 26 янв 2021, 13:24 ]
Заголовок сообщения:  Отражения и свойства

исследовать свойства (инъективность, сюръективность, биективность) отражения

f: N×N→Z, где N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, f((a,b))=7a−11b+ab

Автор:  swan [ 26 янв 2021, 14:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отражения и свойства

Тяжко вам будет. Здесь могу вам только посочувствовать

Автор:  Andy [ 26 янв 2021, 20:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отражения и свойства

Gushidomo
Это отображение не является инъективным, потому что, например, [math]f(11,~1)=7 \cdot 11-11 \cdot 1+11 \cdot 1=77[/math] и [math]f(11,~2)=7 \cdot 11-11 \cdot 2+11 \cdot 2=77.[/math] Тогда оно не является и биективным.

Как определить, является ли это отображение сюръективным, я пока не знаю. Попробуйте выяснить, например, имеет ли уравнение [math]7a-11b+ab=-2[/math] решение в натуральных числах. Может быть, знатоки математики подскажут действенный способ выяснения.

Автор:  senior51 [ 27 янв 2021, 04:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отражения и свойства

[math]a=10,b=72[/math]
Отображение[math]f(a,b)[/math] называется сюръективным, если [math]\forall z \in \mathbb{Z}, \exists a,b \in \mathbb{N} \,\colon f(a,b)=7a-11b+ab=z \Rightarrow b=\frac{ 7a-z }{ 11-a }[/math].
А дальше давайте подумаем и скажем ,что отображение суръективно.

Автор:  mysz [ 27 янв 2021, 05:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отражения и свойства

senior51 писал(а):
что отображение суръективно.

Сюръективно. )
Только так плохо видно. Лучше было с самого начала выражение на множители разложить. Выделить произведение + константа.
Потом бы совсем ничего осталось думать.

Автор:  senior51 [ 27 янв 2021, 06:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отражения и свойства

mysz
Хорошо .Тогда найди [math]a,b[/math] для [math]z=71[/math].
Подумаем и скажем, что отображение....

Автор:  mysz [ 27 янв 2021, 06:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отражения и свойства

А, извини. Там на [math]\mathbb N^2[/math]. Померещилась целочисленная решетка.
Тогда, конечно, не сюръекция.

Но выделить произведение, на мой дилетантский взгляд, целесообразнее. Более наглядно. Хотя дело хозяйское. Хозяин, правда, спит уже сутки или сколько там.

Автор:  senior51 [ 27 янв 2021, 06:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отражения и свойства

Вот и додумались до правильного ответа.

Автор:  mysz [ 27 янв 2021, 06:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отражения и свойства

Вот и ладушки.

Автор:  StepUp [ 27 янв 2021, 20:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отражения и свойства

senior51 писал(а):
Вот и ладушки.

senior51 писал(а):
Вот и додумались до правильного ответа.


Мне кажется, что оставшуюся часть доказательства сюръективности можно доказать более строго математически. Попробую предложить вариант, кажется ошибок не должно быть. Осталось доказать, что отображение охватывает все точки множества [math]\mathbb{Z}[/math].
Поищем такие функции в данном отображении:
[math]f(10,b)=70 - b[/math] и [math]f(12,b) = 84 + b[/math]
при [math]b[/math] пробегающем все натуральные, эти функции последовательно проходят все целые, кроме участка [math](71; 83)[/math].
Чтобы покрыть этот участок возьмем функции
[math]f(a,-8)=-a-88[/math] и [math]f(a,-6)=a - 66[/math]
- эти функции заполняют оставшийся нам участок.
Поэтому каждое число в [math]\mathbb{Z}[/math] имеет несколько прообразов. Следовательно, сюръективность доказана. Кажется, ошибок нет.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/