Отражения и свойства

исследовать свойства (инъективность, сюръективность, биективность) отражения

f: N×N→Z, где N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, f((a,b))=7a−11b+ab

Gushidomo
Это отображение не является инъективным, потому что, например, [math]f(11,~1)=7 \cdot 11-11 \cdot 1+11 \cdot 1=77[/math] и [math]f(11,~2)=7 \cdot 11-11 \cdot 2+11 \cdot 2=77.[/math] Тогда оно не является и биективным.

Как определить, является ли это отображение сюръективным, я пока не знаю. Попробуйте выяснить, например, имеет ли уравнение [math]7a-11b+ab=-2[/math] решение в натуральных числах. Может быть, знатоки математики подскажут действенный способ выяснения.

[math]a=10,b=72[/math]
Отображение[math]f(a,b)[/math] называется сюръективным, если [math]\forall z \in \mathbb{Z}, \exists a,b \in \mathbb{N} \,\colon f(a,b)=7a-11b+ab=z \Rightarrow b=\frac{ 7a-z }{ 11-a }[/math].
А дальше давайте подумаем и скажем ,что отображение суръективно.

Сюръективно. )
Только так плохо видно. Лучше было с самого начала выражение на множители разложить. Выделить произведение + константа.
Потом бы совсем ничего осталось думать.

mysz
Хорошо .Тогда найди [math]a,b[/math] для [math]z=71[/math].
Подумаем и скажем, что отображение....

А, извини. Там на [math]\mathbb N^2[/math]. Померещилась целочисленная решетка.
Тогда, конечно, не сюръекция.

Но выделить произведение, на мой дилетантский взгляд, целесообразнее. Более наглядно. Хотя дело хозяйское. Хозяин, правда, спит уже сутки или сколько там.

Вот и додумались до правильного ответа.

Вот и ладушки.

Мне кажется, что оставшуюся часть доказательства сюръективности можно доказать более строго математически. Попробую предложить вариант, кажется ошибок не должно быть. Осталось доказать, что отображение охватывает все точки множества [math]\mathbb{Z}[/math].
Поищем такие функции в данном отображении:
[math]f(10,b)=70 - b[/math] и [math]f(12,b) = 84 + b[/math]
при [math]b[/math] пробегающем все натуральные, эти функции последовательно проходят все целые, кроме участка [math](71; 83)[/math].
Чтобы покрыть этот участок возьмем функции
[math]f(a,-8)=-a-88[/math] и [math]f(a,-6)=a - 66[/math]
- эти функции заполняют оставшийся нам участок.
Поэтому каждое число в [math]\mathbb{Z}[/math] имеет несколько прообразов. Следовательно, сюръективность доказана. Кажется, ошибок нет.