Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Бесконечность натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 сен 2020, 11:23 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 янв 2020, 18:36
Сообщений: 367
Откуда: Cambridge
Cпасибо сказано: 110
Спасибо получено:
104 раз в 102 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Форум привет.
дали доказательство бесконечности [math]\mathbb{N}[/math], никак не могу понять его. На лекции на него не обратил внимание, ибо преподаватель диктует быстро и приходится писать, а думать после.

Док-во
От противного (а как же ещё? :D1 )

Пусть [math]\mathbb{N}[/math] конечно, тогда [math]\exists[/math] биекция [math]{f \colon \left\{ 1,2.....m \right\} \to \mathbb{N} }[/math]
[math]f(1)+f(2)+...+f(m)+1 > f(k)[/math], [math]\forall k = 1...m[/math], [math]\Rightarrow f[/math] не сюрьекция, противоречие.

Крутил его и так и сяк, не смог понять, гугл не помог, ничего похожего на это не нашел! Прошу помочь. Толкните куда думать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечность натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 сен 2020, 11:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если N конечно, то существует максимальное целое число. Прибавим к нему единицу ...(продолжите сами).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечность натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 сен 2020, 11:44 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 янв 2020, 18:36
Сообщений: 367
Откуда: Cambridge
Cпасибо сказано: 110
Спасибо получено:
104 раз в 102 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Если N конечно, то существует максимальное целое число. Прибавим к нему единицу ...(продолжите сами).

аксиома индукции вступает в дело и то что [math]\mathbb{N}[/math] не ограничено сверху.
Но записать такое доказательство можно и понятнее? к чему суммы элементов + 1?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечность натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 сен 2020, 11:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Elphen Lied писал(а):
аксиома индукции вступает в дело

Название аксиом не помню. Но если n целое, то и n+1 целое. Причём n+1 будет больше чем n. Получили противоречие.
Elphen Lied писал(а):
Но записать такое доказательство можно и понятнее?

Не думал про это. На мой взгляд и так просто. Вам что-то непонятно?
Elphen Lied писал(а):
к чему суммы элементов + 1?

К чему относится ваш вопрос? У меня никаких сумм элементов нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечность натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 сен 2020, 12:25 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 янв 2020, 18:36
Сообщений: 367
Откуда: Cambridge
Cпасибо сказано: 110
Спасибо получено:
104 раз в 102 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
К чему относится ваш вопрос? У меня никаких сумм элементов не

[math]f(1)+f(2)+...+f(m)+1 > f(k)[/math] вот к этому, из того что сумма первых m элементов + 1 (это в каком-то виде аксиома индукции (но нет, она не может дать нам результата), то что [math]1\in A, n \in A, n+1 \in A => A = \mathbb{N}[/math], то что вы написали :D1 ), меньше любого k-го следует бесконечность [math]\mathbb{N}[/math]

Вот смотрите мы говорим пусть есть биекция из 1....m в [math]\mathbb{N}[/math], тогда сумма элементов от 1 до m и +1 будет больше любого натурального k от 1 до n
из этого следует бесконечность натуральных чисел
т.е [math](\sum\limits_{z=1}^{m}f(z)) + 1>f(k)[/math] где k = 1...m, это очевидно. Хотелось бы понять, в чем смысл суммы, как из нее выходит доказательство утверждения?

Но если доказать вот так
мы хотим установить биекцию из [math]\left\{ 1,2....m \right\}[/math] в [math]\mathbb{N}[/math],
пусть [math]f(1)\to n_{1}, f(2)\to n_{2}.....f(m) \to n_{m}[/math], но по аксиоме индукции, если [math]1 \in \mathbb{N}[/math] и [math]n_{m} \in \mathbb{N}[/math] то [math]n_{m+1} \in \mathbb{N}[/math], вот мы и нашли не покрытый элемент ( [math]n_{m+1}[/math] ) [math]\Rightarrow \mathbb{N}[/math] бесконечно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечность натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 сен 2020, 12:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Elphen Lied писал(а):
дали доказательство бесконечности N

Это какой то изощренный мехматовский юмор) Не обращайте внимания

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечность натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 сен 2020, 12:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Elphen Lied
Я сразу не понял ваш пост. Я написал, как я бы стал доказывать вашу теорему. Оказывается вы хотите разобраться в своём доказательстве.
Elphen Lied писал(а):
Хотелось бы понять, в чем смысл суммы, как из нее выходит доказательство утверждения?

Сумма слева есть натуральное число и оно больше каждого нашего натурального числа. Получили противоречие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечность натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 сен 2020, 13:21 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 янв 2020, 18:36
Сообщений: 367
Откуда: Cambridge
Cпасибо сказано: 110
Спасибо получено:
104 раз в 102 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Сумма слева есть натуральное число и оно больше каждого нашего натурального числа. Получили противоречие.

Да, я вас понял, немного подумав, понял, т.е. мы нашли такое натуральное, которое больше любого нашего, и соответственно оно не покрыто, следовательно не сюрьекция, а значит и не биекция

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечность натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 сен 2020, 13:25 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 янв 2020, 18:36
Сообщений: 367
Откуда: Cambridge
Cпасибо сказано: 110
Спасибо получено:
104 раз в 102 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM писал(а):
Это какой то изощренный мехматовский юмор) Не обращайте внимания

Ага, ну, а что :D1
После стандартных доказательство что ноль единственнен, единица тоже, что 0<1, а уже из этого следует, что упорядоченное поле имеет характеристику 0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Редупликация натурального ряда циклом 2n+3k

в форуме Палата №6

ivashenko

0

181

21 фев 2019, 23:27

Формирование натурального ряда разностями

в форуме Численные методы

atlakatl

8

442

20 янв 2019, 17:17

Суммирование знакочередующегося натурального ряда

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

5

446

20 июн 2019, 00:31

Раскрыть неопределенность бесконечность-бесконечность(4)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Putnik13

1

328

04 ноя 2016, 14:16

Раскрыть неопределенность бесконечность-бесконечность(3)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Putnik13

2

293

04 ноя 2016, 14:10

Раскрыть неопределенность [бесконечность-бесконечность](2)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Putnik13

1

317

04 ноя 2016, 14:01

Раскрыть неопределенность бесконечность-бесконечность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Putnik13

24

1107

04 ноя 2016, 13:51

Разбиения натурального N на k частей

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Volodislavir

7

445

02 июн 2017, 05:11

Предел натурального логарифма

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Shredinger42

1

483

19 ноя 2016, 21:53

Бесконечность

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

illlidian

7

340

08 июл 2019, 20:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved