Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение рекуррентного соотношения
СообщениеДобавлено: 21 июл 2019, 13:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 14:28
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день.
Помогите, пожалуйста, понять, в каком месте у меня ошибка.

Задание:
Решить следующее рекуррентное соотношение: [math]a_{n+2} + 9a_n = 0,[/math] начальные условия: [math]a_0=a_1=1[/math].

Решение:
1) Из характеристического уравнения находим корни: [math]3i, -3i[/math], модуль комплексного числа и угол: [math]\rho = 3, \phi = \frac{ \pi }{ 2 }[/math]
2) Составляем систему уравнений для [math]a_0, a_1[/math] и из нее находим коэффициенты [math]C_1, C_2[/math] общего решения вида [math]a_n=C_1x_1^n + C_2x_2^n=(C_1+C_2)\rho^n cos(n\phi) + (C_1-C_2)\rho^n sin(n\phi)[/math]:
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& C_1+C_2=1 \\
& \rho (C_1+C_2)cos \phi + \rho i (C_1-C_2)sin \phi = 1
\end{aligned}\right.[/math]


Во втором уравнении первое слагаемое равно нулю, т.к. угол [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math], поэтому получаем следующее:
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& C_1=1 - C_2 \\
& 3i(C_1-C_2)=1
\end{aligned}\right.[/math]


Отсюда получаем, что [math]C_2 = \frac{ 1 }{ 2 } - \frac{ 1 }{ 6 }i[/math], [math]C_1 = \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 6 }i[/math]

Подставляем найденные коэффициенты в общую формулу и получаем:
[math]a_n=3^n(cos(\frac{ \pi n}{ 2 } ) - \frac{ 1 }{ 3 } sin(\frac{ \pi n}{ 2 } ))[/math]

В правильном ответе не разность, а сумма: [math]a_n=3^n(cos(\frac{ \pi n}{ 2 } ) + \frac{ 1 }{ 3 } sin(\frac{ \pi n}{ 2 } ))[/math].

Можно проверить для [math]a_3[/math], по моей формуле получается 9, а должно быть -9, что и дает формула по ответу.
Я понимаю, что если у меня значения [math]C_1, C_2[/math] поменять местами, то получится сумма в ответе, но где в моем ходе решения ошибка понять не могу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение рекуррентного соотношения
СообщениеДобавлено: 21 июл 2019, 14:06 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 390
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
107 раз в 95 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В системе, где находите константы, по-видимому, во втором уравнении у вас получилось 1/i=i, вместо 1/i=-i.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение рекуррентного соотношения
СообщениеДобавлено: 21 июл 2019, 15:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 14:28
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо! Понял

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
РЕшение рекуррентного соотношения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

rebbelion40k

8

327

27 дек 2017, 14:11

Найти решение рекуррентного соотношения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

nonnochka

19

5572

30 ноя 2010, 19:19

Общие решение рекуррентного соотношения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

xMaserati

3

770

18 июн 2015, 15:18

Общее решение рекуррентного соотношения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

CruSanodeR

1

463

06 ноя 2014, 18:42

Найти общее решение рекуррентного соотношения

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

333wannaplay

2

241

27 май 2018, 11:21

Решение рекуррентного соотношения и производящая функция

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Kolich

1

613

21 дек 2010, 21:19

Найти общее решение рекуррентного соотношения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

BrokenBroom

2

673

23 янв 2012, 14:17

Найти общее решение рекуррентного соотношения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Korsun

7

1048

20 ноя 2014, 16:52

Найти общее решение рекуррентного соотношения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Dao

4

1377

19 сен 2011, 03:33

Найти общее решение рекуррентного соотношения 5-го порядка

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

WarpSpeed

5

2128

05 июн 2014, 18:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved