Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма положительных элементов несчетного множества
СообщениеДобавлено: 03 окт 2018, 00:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2018, 05:21
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть М - несчетное подмножество множества положительных вещественных чисел, M [math]\subset \mathbb{R} ^{+}[/math]. Покажите, что для любого r [math]\in \mathbb{R} ^{+}[/math] существует конечный набор элементов [math]a_{1}[/math], [math]a_{2}[/math],..., [math]a_{n}[/math] [math]\in M[/math], такой что [math]\sum\limits_{k=1}^{n} a_k[/math] [math]\geqslant r[/math]

Я рассмотрел множество [math]M_{N} = \{
a_{k} \in M| a_{k} \geqslant \frac{ 1 }{ N } , N \in \mathbb{N}\}[/math]

Тогда существует N, при которых множество [math]M_{N}[/math] бесконечно. Выберем [math]q \geqslant Nr[/math]. Тогда [math]\sum\limits_{j=1}^{n} a_{k_{j} }[/math][math]\geqslant q[/math] [math]\cdot[/math] [math]\frac{ 1 }{ N }[/math] [math]\geqslant r[/math]

Это правильное направление мыслей? Подкорректируйте и подскажите что дальше делать. Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма положительных элементов несчетного множества
СообщениеДобавлено: 03 окт 2018, 17:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
DucAnh456 писал(а):
[math]M_{N} = \{
a_{k} \in M| a_{k} \geqslant \frac{ 1 }{ N } , N \in \mathbb{N}\}[/math]
Если вы вы пишете [math]N \in \mathbb{N}[/math] внутри фигурных скобок, это значит, что [math]N[/math] пробегает по всем натуральным числам и вы собираете [math]a_k[/math] для всех таких [math]N[/math]. Например, когда пишут [math]A\times B=\{(x, y)\mid x\in A, y\in B\}[/math], имеют в виду, что в [math]A\times B[/math] входят пары [math](x, y)[/math] для всех [math]x\in A[/math] и всех [math]y\in B[/math]. Нужно писать: для всех [math]N\in\mathbb{N}[/math] рассмотрим множество [math]M_N=\ldots[/math].

Далее, почему вы используете запись [math]a_k[/math], если про [math]M[/math] сказано, что оно несчетное и, следовательно, не может быть занумеровано натуральными числами?

DucAnh456 писал(а):
Тогда существует N, при которых множество [math]M_{N}[/math] бесконечно.
Это хорошо бы обосновать.

DucAnh456 писал(а):
Выберем [math]q \geqslant Nr[/math]. Тогда [math]\sum\limits_{j=1}^{n} a_{k_{j} }[/math][math]\geqslant q[/math] [math]\cdot[/math] [math]\frac{ 1 }{ N }[/math] [math]\geqslant r[/math]
Что вы имеете в виду под функцией [math]k_j[/math]?

Замечание про LaTeX: никогда не разбивайте формулы. Вся формула должна быть заключена в одну пару тегов math и /math на форуме, или в \( и \) в LaTeX'е. Также используйте \mid для вертикальной палочки при описании множеств.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма положительных элементов несчетного множества
СообщениеДобавлено: 03 окт 2018, 22:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2018, 05:21
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я постарался учесть ваши замечания и внес поправки.

Рассмотрим [math]M_{N} = \{a \in M| a \geqslant \frac{ 1 }{ N } \}, N \in \mathbb{N}[/math]. Можно заметить, что [math]M = \cup_{N \in \mathbb{N} } M_{N}[/math]. Так как M несчетно, а счетное объединение конечных множеств не может быть несчетным, то существует N, при которых множество [math]M_{N}[/math] бесконечно. Выберем q различных элементов из этого бесконечного множества [math]a_{1},..., a_{q}, q \geqslant Nr[/math]. Тогда [math]\sum\limits_{j=1}^{q} a_{j} \geqslant q\cdot\frac{ 1 }{ N }\geqslant r[/math], чтд.

Есть какие-нибудь замечания по этому?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма положительных элементов несчетного множества
СообщениеДобавлено: 03 окт 2018, 23:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С этим я согласен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
DucAnh456
 Заголовок сообщения: Re: Сумма положительных элементов несчетного множества
СообщениеДобавлено: 03 окт 2018, 23:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5207
Cпасибо сказано: 340
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Глупость написал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма положительных элементов несчетного множества
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 07:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2018, 05:21
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поясните, что не так в исправленном варианте? Что за глупость?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма положительных элементов несчетного множества
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 09:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
DucAnh456, я думаю, что уважаемый Booker48 не имел в виду вас.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Сумма положительных элементов несчетного множества
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 11:48 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5207
Cпасибо сказано: 340
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да конечно, извините. Я себя имел в виду, почему-то подумал, что несчётность подмножества здесь несущественна. Чёрт толкнул под руку, я это написал, и почему-то потом только сообразил, что подмножество может состоять, например, из элементов сходящегося ряда. От отчаяния и заменил написанное на то, что осталось. Надо было просто точку поставить. :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма положительных элементов несчетного множества
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 13:18 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Самое дубовое занятие доказывать явные вещи. Доказывая более сложные теоремы, ты эти вещи просто принимаешь как аксиомы. А тут деваться некуда, доказывай.
Т.к. [math]M[/math] несчётное множество, то оно имеет по крайней мере один интервал конечной длины. Иначе [math]M[/math] стало бы счётным.

Пусть нижняя и верхняя границы интервала [math]x_0 < x < x_{end}[/math]. Найдём точку [math]x_1=\frac{ x_0+x_{end} }{ 2 }[/math]. Затем найдём точку [math]x_2=\frac{ x_1+x_{end} }{ 2 }[/math] и т.д. Всегда найдётся [math]n[/math], что [math]\sum\limits_{n}x_n > x_1 \cdot n>r[/math]. Последнее утверждение базируется на теореме Архимеда, утверждающую, что прибавляя по единице, мы превзойдём любое наперёд заданное число.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма положительных элементов несчетного множества
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 13:23 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
atlakatl писал(а):
Т.к. M несчётное множество, то оно имеет по крайней мере один интервал конечной длины. Иначе M стало бы счётным.

Это не правда, например множество Кантора

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сколько существует перестановок элементов множества

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

BENll

3

322

25 сен 2022, 21:51

Вектор, сумма элементов которого равна 1

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

walruz

3

262

23 янв 2017, 10:08

Разбиение nk элементов на n групп по k элементов в каждой

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

artemkush1

1

276

06 апр 2020, 21:17

Сходимость положительных рядов

в форуме Ряды

walentinka

4

268

12 дек 2020, 21:48

Логика положительных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

iva

4

372

19 июн 2015, 19:40

Даны три положительных числа:

в форуме Алгебра

VICTORQQQQ

7

319

11 апр 2017, 20:47

Доказать целых положительных корней нет

в форуме Алгебра

3axap

22

727

24 май 2019, 12:54

Сколько целочисленных положительных решений?

в форуме Теория чисел

Avgust

13

809

11 янв 2021, 18:53

Бесконечная последовательность целых положительных чисел

в форуме Алгебра

Bonaqua

3

466

19 май 2015, 15:07

Сколько положительных целых чисел делятся на 3

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

hlop

3

1050

20 ноя 2017, 18:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved