Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Об определении множества натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 23:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 дек 2016, 18:10
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

Я не силен в математическом формализме, поэтому постоянно путаюсь, в частности, когда дело доходит до определения множества натуральных чисел. В связи с этим есть несколько вопросов.
Пытаясь во всем разобраться, я выделил для себя три определения:


1) Аксиомы Пеано
2) Теоретико-множественное определение
3) Множество натуральных чисел как наименьшее индуктивное множество, содержащее единицу (x [math]\in[/math]X => (x+1) [math]\in[/math] X) .

Лично мне последнее определение кажется наиболее удобным, но из-за наличия принципиально других подходов к определению множества натуральных чисел, я не уверен, каким из них все-таки пользоваться.


Интуитивно мне кажется, что определения (1) и (3) эквивалентны, хотя я в этом не уверен. Так ли это на самом деле?


Еще больше смущает, что определение (2) подразумевает, что нуль есть натуральное число. Как я понял, вопрос о принадлежности нуля к множеству натуральных чисел дискуссионный и существенно не влияет в итоге на свойства натуральных чисел (и в случае необходимости в определении (3) можно потребовать, чтобы индуктивное множество содержало нуль, а не единицу, и тогда можно построить взаимно однозначное отображение и множества, задаваемые определениями (2) и (3) будут неотличимы абстрактно). Правильны ли мои рассуждения?


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Об определении множества натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 12:50 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nikitaxc писал(а):
2) Теоретико-множественное определение


Что за определение такое?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Об определении множества натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 14:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 дек 2016, 18:10
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid писал(а):
nikitaxc писал(а):
2) Теоретико-множественное определение


Что за определение такое?

Определение Фреге — Рассела

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю nikitaxc "Спасибо" сказали:
Ellipsoid
 Заголовок сообщения: Re: Об определении множества натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 17:52 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nikitaxc
Позвольте поинтересоваться, зачем Вам это нужно? :) Например, элементарная геометрия долгое время строилась на базе аксиоматики Евклида, затем появились другие аксиоматики, в частности, Гильберта и Вейля. Вас что-нибудь смущает в этом? А если взять, например, теорию множеств, то ... :crazy: (сами понимаете).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Об определении множества натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 21:07 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
то ...


Георг Кантор подтверждает. :o

nikitaxc писал(а):
Определение Фреге — Рассела


Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Об определении множества натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 15 дек 2017, 20:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 дек 2016, 18:10
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
nikitaxc
Позвольте поинтересоваться, зачем Вам это нужно? :) Например, элементарная геометрия долгое время строилась на базе аксиоматики Евклида, затем появились другие аксиоматики, в частности, Гильберта и Вейля. Вас что-нибудь смущает в этом? А если взять, например, теорию множеств, то ... :crazy: (сами понимаете).

Скорее, просто любопытно, и для общего понимания. Выбор определения повлияет на дальнейшие доказательства, и, быть может, даже на некоторые свойства. Именно поэтому сейчас для меня важен вопрос об эквивалентности определений. Да и просто хочется иметь хотя бы общее понимание того, с чем имею дело, хотя, быть может, это даже и избыточно в каком-то смысле, ведь я не математик.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Об определении множества натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 15 дек 2017, 20:37 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nikitaxc
Для нематематика это явно избыточно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Об определении множества натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 15 дек 2017, 20:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 дек 2016, 18:10
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
nikitaxc
Для нематематика это явно избыточно.

Пожалуй. Но мне почему-то интересно все-таки, поэтому и задался таким вопросом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Об определении множества натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 15 дек 2017, 20:43 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nikitaxc
nikitaxc писал(а):
Выбор определения повлияет на дальнейшие доказательства, и, быть может, даже на некоторые свойства.

А что Вы хотите доказать? Свойства чего изменятся?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сжатие множества натуральных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

granit201z

7

537

05 июн 2017, 20:38

Разбиения натуральных чисел

в форуме Теория чисел

ivashenko

12

754

04 апр 2019, 17:23

Сумма натуральных чисел

в форуме Алгебра

serg10

2

190

13 сен 2019, 10:13

Найти сумму натуральных чисел

в форуме Алгебра

tatyanka66693

2

757

28 сен 2014, 14:04

Доказательство свойства натуральных чисел

в форуме Алгебра

Alexandr K

2

255

04 ноя 2022, 14:51

Сумма всех натуральных чисел

в форуме Размышления по поводу и без

Nikolay_Tyan

85

1694

04 июн 2019, 20:29

Синусы ста последовательных натуральных чисел

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Sardaana

1

569

07 дек 2014, 14:34

Найти количество натуральных чисел

в форуме Теория чисел

Trek

6

1107

16 янв 2015, 21:20

Две четверки различных натуральных чисел

в форуме Теория чисел

Avgust

3

806

24 май 2014, 14:06

Последовательность натуральных чисел(индукция)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

_Frank__

2

292

25 дек 2017, 19:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved