Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Cумма сочетаний
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=62&t=55964
Страница 1 из 1

Автор:  Alex_andra [ 06 окт 2017, 22:16 ]
Заголовок сообщения:  Cумма сочетаний

Изображение
Уже три дня бьюсь с 26 вариантом...никак не могу решить

Автор:  Ellipsoid [ 06 окт 2017, 22:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Cумма сочетаний

Кто придумывает такие идиотские задачи? Куда естественнее решать их с помощью бинома Ньютона и дифференцирования (или интегрирования - в зависимости от типа суммы). А свойства сочетаний (кстати, зачем они?) запомнить крайне трудно.

Автор:  3D Homer [ 07 окт 2017, 02:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Cумма сочетаний

Эта сумма сводится к [math]\sum_{k=1}^nkC_n^k=n2^{n-1}[/math] и [math]\sum_{k=1}^nC_n^k=2^n-1[/math]. Первую сумму, как уже говорилось, можно посчитать с помощью дифференцирования [math]f(x)=(1+x)^n[/math] и подстановки [math]x=1[/math]. На этой странице есть несколько других доказательств (на английском). Например, вот комбинаторное доказательство. С одной стороны, [math]\sum_{k=1}^nkC_n^k[/math] есть сумма количеств элементов во всех подмножествах [math]\{1,\dots,n\}[/math]. С другой стороны, все такие подмножества (их [math]2^n[/math]) можно разбить на неупорядоченные пары [math]\{S,\{1,\dots,n\}\setminus S\}[/math]. Таких пар будет [math]2^{n-1}[/math], а общее количество элементов в каждой паре есть [math]n[/math].

Автор:  Alex_andra [ 07 окт 2017, 21:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Cумма сочетаний

Через бином решать не могу. Лектор требует через преобразования избавиться от коэффициентов, вынести общий множитель, получив сумму сочетаний с одинаковым n (на лекции был разобран пример, где коэффициенты сократились с факториалами в знаменателе). Как избавиться от них в своем варианте, я понятия не имею...

Автор:  3D Homer [ 07 окт 2017, 21:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Cумма сочетаний

[math]\sum_{k=1}^n(4k-1)C_n^k=4\sum_{k=1}^nkC_n^k-\sum_{k=1}^nC_n^k[/math].

Проверьте, что [math]kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}[/math]. Тогда [math]\sum_{k=1}^nkC_n^k=n\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/