Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Равномощность множества и его подмножества
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 13:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 12:00
Сообщений: 32
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
День добрый.
Скажите, ведь не у любого множества может такое быть, чтобы его мощность совпадала бы с мощностью своего собственного подмножества?
А у какого?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномощность множества и его подмножества
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 13:31 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
21 сен 2013, 00:46
Сообщений: 504
Cпасибо сказано: 113
Спасибо получено:
122 раз в 99 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia
Вообще-то, это одно из основных свойств множества, и с этого начинается любой учебник по теории множеств.
Естественно, это не может быть верно для конечных множеств.
А вот бесконечное множество вполне может быть равномощно собственному подмножеству. Вот Вам примеры:
1. Множество целых чисел равномощно множеству нечётных чисел.
2. Множество целых чисел равномощно множеству натуральных чисел.
3. Множество натуральных чисел равномощно множеству простых чисел, и т.д.
Я Вам даже открою одну тайну и усилю Ваше утверждение, а именно, в теории Кантора есть теорема (она тоже приводится в учебнике) о том, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное подмножество.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали:
Claudia
 Заголовок сообщения: Re: Равномощность множества и его подмножества
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 15:50 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15213
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 953
Спасибо получено:
3347 раз в 3095 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добавлю, что в некоторых учебниках бесконечное множество, следуя Р. Дедекинду, определяется как множество, мощность которого равна мощности его собственного подмножества.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Claudia
 Заголовок сообщения: Re: Равномощность множества и его подмножества
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 17:44 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
25 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это утверждение верно для любого бесконечного множества и неверно для любого конечного множества. При этом бесконечным множеством я называю множество, не являющееся конечным. Конечным же множеством я называю множество, равномощное отрезку натурального ряда [math]\left| 1, n \right|[/math] (в этот отрезок входят все числа [math]k \in \mathbb{N}[/math] такие, что [math]1 \leqslant k \leqslant n[/math]). Доказательство равномощности бесконечного множества его собственному подмножеству может выглядеть, например, так (собственным подмножеством [math]B[/math] множества [math]A[/math] называется подмножество множества [math]A[/math] , не совпадающее с ним самим). Выделим в бесконечном множестве собственное счетное подмножество (это всегда можно сделать: в теории множеств есть соответствующая элементарно доказываемая теорема). Обозначим это множество через [math]\mathbb{N}[/math] и осуществим биекцию [math]\mathbb{N} \mapsto 2 \mathbb{N}[/math], т. е. на все четные элементы выделенного подмножества (которые мы мысленно занумеровали натуральными числами). Понятно, что при таком отображении все нечетные элементы выпадут из образа нашего отображения. Всем же элементам, которые не попали в выделенное нами множество [math]\mathbb{N}[/math], поставим в соответствие самих себя. Тем самым мы осуществили биекцию (взаимно-однозначное отображение на) множества на его собственное подмножество (все нечетные элементы из [math]\mathbb{N}[/math] при этом не имеют прообраза).
Добавлю, что Р. Дедекинд в свое время предложил такое определение бесконечного множества: бесконечное множество - это множество, равномощное своему собственному подмножеству.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномощность множества и его подмножества
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 18:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 12:00
Сообщений: 32
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986
Во-первых, зачем Вы повторили то, что мне уже объяснили Gagarin и Andy?
А во-вторых, вот это Ваше утверждение:
Kirill1986 писал(а):
Это утверждение верно для любого бесконечного множества
, как я теперь поняла, совершенно неверно. Не любого. Вот например, множество рациональных чисел является подмножеством множества вещественных чисел, однако они не равномощны.
Множество рациональных чисел не более чем счётно, а множество вещественных имеет мощность континуума.
По-моему, так.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномощность множества и его подмножества
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 19:13 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 17:17
Сообщений: 1148
Cпасибо сказано: 61
Спасибо получено:
322 раз в 306 сообщениях
Очков репутации: 97

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia писал(а):
А во-вторых, вот это Ваше утверждение:
"Это утверждение верно для любого бесконечного множества"
как я теперь поняла, совершенно неверно. Не любого. Вот например, множество рациональных чисел является подмножеством множества вещественных чисел, однако они не равномощны.


Kirill1986 говорит про утверждение "Существует подмножество множества [math]A[/math], равномощное самому [math]A[/math]". Это утверждение истинно для любого бесконечного множества [math]A[/math]. Вы же, Claudia, по-видимому имеете в виду утверждение "Любое подмножество множества [math]A[/math] равномощно самому [math]A[/math]". Это утверждение верно только для [math]A=\emptyset[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномощность множества и его подмножества
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 21:13 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
25 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia, Вы неправильно поняли суть моего утверждения. В любом бесконечном множестве существует бесконечное собственное подмножество, равномощное исходному. Я не утверждал, что любое бесконечное множество равномощно любому бесконечному собственному помножеству. Обратите, пожалуйста, внимание, что из приведенного мною утверждения вовсе не следует, что множества вещественных и рациональных чисел равномощны. Из него следует лишь, что в множестве вещественных чисел существует собственное подмножество, равномощое множеству вещественных чисел. Вот примеры таких множеств: интервал [math]\left( 0,1 \right)[/math], отрезок [math]\left[ 0,1 \right][/math], объединение конечного, счетного или мощности континуума числа интервалов (при этом в последнем случае интервалы будут обязательно перекрываться!), множество всех иррациональных чисел, множество всех трансцендентных чисел, пыль Кантора.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномощность множества и его подмножества
СообщениеДобавлено: 18 сен 2017, 07:17 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
25 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Маленькая ремарка: я выделил не то слово "любое", которое следовало бы, чтобы правильно расставить акценты.

Claudia, Вы неправильно поняли суть моего утверждения. В любом бесконечном множестве существует бесконечное собственное подмножество, равномощное исходному. Я не утверждал, что любое бесконечное множество равномощно любому бесконечному собственному помножеству. Обратите, пожалуйста, внимание, что из приведенного мною утверждения вовсе не следует, что множества вещественных и рациональных чисел равномощны. Из него следует лишь, что в множестве вещественных чисел существует собственное подмножество, равномощое множеству вещественных чисел. Вот примеры таких множеств: интервал [math]\left( 0,1 \right)[/math], отрезок [math]\left[ 0,1 \right][/math], объединение конечного, счетного или мощности континуума числа интервалов (при этом в последнем случае интервалы будут обязательно перекрываться!), множество всех иррациональных чисел, множество всех трансцендентных чисел, пыль Кантора.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Множества и подмножества - Задача на картинке

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Jambo

2

129

02 фев 2016, 23:33

Равномощность квадрата и отрезка

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

tencet

2

465

08 янв 2014, 16:34

Как доказать что Х1', X2', ... Х'n – подмножества X

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ENERGYxdre

1

178

10 апр 2013, 17:38

Дано универсальное множество U и три его подмножества A,B,C

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

alexandra555

3

828

17 май 2012, 23:57

Каким числом способов можно выбрать 3 подмножества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

1kurs

3

684

03 мар 2013, 13:27

Статистический анализ данных в виде подмножества интервалов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

ser-gamer

5

170

21 май 2015, 22:24

Множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

photographer

4

171

08 июн 2015, 17:00

Множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Alex55

5

307

29 сен 2014, 14:29

Множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

photographer

3

138

13 июл 2015, 15:55

Множества

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Yar__

1

134

23 дек 2014, 11:24


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved