Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Andy |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Andy писал(а): "Большинство теорем имеют структуру следования предикатов". А существуют ли теоремы, которые не имеют такой структуры? "Через 2 точки можно провести прямую, причем только одну." Непонятно, где здесь структура следования? Аналогично: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". Конечно, наверное можно привести теорему Пифагора к виду с явным порядком следования: "Если мы сложим квадраты катетов, то получим величину, равную квадрату гипотенузы". Или:"Если мы захотим провести прямую через 2 точки, то сможем это сделать единственным образом". Но в базовой формулировке этого следования не видно. А вот в теореме нелинейной динамики: "Если в динамической системе присутствует период 3, то в ней присутствует период любого порядка" или "Наличие периода 3 влечет хаос", порядок следования виден невооруженным глазом. Можно сформулировать еще такую теорему:"Не существует треугольников с углом больше 180 градусов". Тоже порядка следования не видно, и даже не вижу как преобразовать эту теорему, чтобы порядок следования проявился. Про прямую через 2 точки - это похоже аксиома. Так что сюда может и не вписываться. А вообще я в предикатах ни бум-бум. Поэтому и спрашиваю. |
||
Вернуться к началу | ||
Ellipsoid |
|
|
Andy писал(а): А существуют ли теоремы, которые не имеют такой структуры? Для любого натурального числа [math]x[/math] существует такое натуральное число [math]y[/math], что [math]y[/math] больше [math]x[/math]. Данной теореме соответствует формула [math]\forall x \exists y P(x,y)[/math]. Где тут следование? Поскольку следование (как предикатов, так и формул логики) эквивалентно импликации, то можно сказать, что есть теоремы, не включающие в себя импликацию (более того, пример выше показывает, что существуют теоремы, не имеющие в своём составе ни одной пропозициональной связки). Теорема - это высказывание, и если там и есть предикаты, то у них нет свободных предметных переменных. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Ellipsoid
По-моему, Вы записали аксиому Архимеда. А я спросил про структуры теорем. Правда, аксиома Архимеда в курсе математического анализа появляется при построении множества вещественных чисел. Поэтому мой довод неудачен. Попробую сформулировать вопрос по-другому. Насколько я понимаю, доказательство теоремы состоит из цепочки импликаций, начальное и конечное звенья которой присутствуют в её формулировке. Существуют ли теоремы иного рода? Я исхожу из того, например, что если [math]P(x),~Q(x)[/math] - предикаты от одной переменной [math]x,[/math] то [math]P(x) \Rightarrow Q(x) \equiv \forall x~(P(x) \to Q(x)),[/math] причём в правой части тождества в скобках имеется импликация предикатов, а в левой - следование высказываний. Наверное, так точнее. Тогда возникает (у меня) вопрос, что имели в виду авторы учебника? |
||
Вернуться к началу | ||
Ellipsoid |
|
|
К сожалению, через планшет формулы на этом форуме у меня не отображаются. Поэтому гляну позже, когда буду дома.
|
||
Вернуться к началу | ||
Ellipsoid |
|
|
Andy писал(а): По-моему, Вы записали аксиому Архимеда. А я спросил про структуры теорем. Andy, аксиомы - это теоремы, которые мы не доказываем в рамках данной теории (они являются основой для доказательства теорем). Для одной теории высказывание может быть аксиомой, а для другой - теоремой. В рамках арифметики Пеано данное высказывание можно доказать. Andy писал(а): Насколько я понимаю, доказательство теоремы состоит из цепочки импликаций, начальное и конечное звенья которой присутствуют в её формулировке. Существуют ли теоремы иного рода? Доказательства являются цепочками следований (импликаций). Теоремы могут формулироваться вообще без логических связок. Andy писал(а): Я исхожу из того, например, что если [math]P(x),~Q(x)[/math] - предикаты от одной переменной [math]x,[/math] то [math]P(x) \Rightarrow Q(x) \equiv \forall x~(P(x) \to Q(x)),[/math] причём в правой части тождества в скобках имеется импликация предикатов, а в левой - следование высказываний. Наверное, так точнее. Тут есть несколько замечаний. Запись [math]P(x) \Rightarrow Q(x)[/math] обозначает, что предикат [math]Q[/math] следует из предиката [math]P[/math]. Логически это эквивалентно тождественной истинности предиката [math]P(x) \to Q(x)[/math], а учитывая определения квантора всебщности, эквивалентно истинности высказывания [math]\forall x (P(x) \to Q(x))[/math]. Это одно высказывание. Если бы было [math]\forall x P(x) \to \forall x Q(x)[/math], то можно было бы говорить об импликации высказываний, а значит, и о следовании высказываний (нульместных предикатов). Если Вы хотели сказать, что предикаты [math]P(x) \to Q(x)[/math] и [math]\forall x (P(x) \to Q(x))[/math] равносильны, то это не так, поскольку из [math]\forall x P(x)[/math] следует [math]P(x)[/math], но не наоборот. Andy писал(а): Тогда возникает (у меня) вопрос, что имели в виду авторы учебника? Andy писал(а): "Большинство теорем имеют структуру следования предикатов" Они имели в виду, что большая часть (что такое большая часть?) теорем формулируются в импликативной форме "если... , то...". |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали: Andy |
||
Andy |
|
|
Ellipsoid
Ellipsoid писал(а): Они имели в виду, что большая часть (что такое большая часть?) теорем формулируются в импликативной форме "если... , то...". Благодарю Вас! Это то, что я и хотел уточнить про "большинство" теорем. При этом, насколько я понимаю, все теоремы можно сформулировать с использованием квантора всеобщности. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Алгебраические структуры | 8 |
234 |
28 ноя 2022, 18:24 |
|
Алгебраические структуры
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
297 |
26 янв 2016, 17:31 |
|
Алгебраические структуры | 0 |
299 |
01 фев 2018, 02:02 |
|
Алгебраические структуры | 1 |
400 |
01 фев 2018, 02:09 |
|
Алгебраические структуры | 2 |
460 |
01 фев 2018, 18:45 |
|
Алгебраические структуры | 8 |
322 |
04 апр 2022, 21:30 |
|
Алгебраические структуры | 1 |
418 |
01 фев 2018, 01:59 |
|
Алгебраические структуры #2 | 4 |
245 |
02 дек 2022, 14:36 |
|
Алгебраические структуры | 3 |
353 |
01 фев 2018, 01:55 |
|
Простейшие алгебраические структуры | 22 |
359 |
03 окт 2021, 10:02 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |