Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Теоремы без структуры следования предикатов
СообщениеДобавлено: 05 сен 2017, 10:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14754
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 897
Спасибо получено:
3246 раз в 2998 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В одном из российских учебников профильного уровня по алгебре и началам математического анализа для 10-го класса написано: "Большинство теорем имеют структуру следования предикатов". А существуют ли теоремы, которые не имеют такой структуры?

По-моему, таких теорем нет, и любая (правильно сформулированная) теорема имеет структуру следования предикатов. Другое дело, что в учебниках кванторы всеобщности опускают и остаётся только импликация. В особенности это относится к учебникам для средних учебных заведений. Тогда что понимается под "большинством"? Формулировки теорем в учебниках для вузов? Но и там очень часто кванторы всеобщности опускают.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Теоремы без структуры следования предикатов
СообщениеДобавлено: 05 сен 2017, 12:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3194
Cпасибо сказано: 220
Спасибо получено:
199 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
"Большинство теорем имеют структуру следования предикатов". А существуют ли теоремы, которые не имеют такой структуры?


"Через 2 точки можно провести прямую, причем только одну." Непонятно, где здесь структура следования? Аналогично: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".
Конечно, наверное можно привести теорему Пифагора к виду с явным порядком следования: "Если мы сложим квадраты катетов, то получим величину, равную квадрату гипотенузы". Или:"Если мы захотим провести прямую через 2 точки, то сможем это сделать единственным образом". Но в базовой формулировке этого следования не видно.

А вот в теореме нелинейной динамики: "Если в динамической системе присутствует период 3, то в ней присутствует период любого порядка" или "Наличие периода 3 влечет хаос", порядок следования виден невооруженным глазом.

Можно сформулировать еще такую теорему:"Не существует треугольников с углом больше 180 градусов". Тоже порядка следования не видно, и даже не вижу как преобразовать эту теорему, чтобы порядок следования проявился.

Про прямую через 2 точки - это похоже аксиома. Так что сюда может и не вписываться.

А вообще я в предикатах ни бум-бум. Поэтому и спрашиваю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Теоремы без структуры следования предикатов
СообщениеДобавлено: 05 сен 2017, 13:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 23:28
Сообщений: 3829
Cпасибо сказано: 482
Спасибо получено:
990 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 305

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
А существуют ли теоремы, которые не имеют такой структуры?


Для любого натурального числа [math]x[/math] существует такое натуральное число [math]y[/math], что [math]y[/math] больше [math]x[/math]. Данной теореме соответствует формула [math]\forall x \exists y P(x,y)[/math]. Где тут следование? Поскольку следование (как предикатов, так и формул логики) эквивалентно импликации, то можно сказать, что есть теоремы, не включающие в себя импликацию (более того, пример выше показывает, что существуют теоремы, не имеющие в своём составе ни одной пропозициональной связки).
Теорема - это высказывание, и если там и есть предикаты, то у них нет свободных предметных переменных.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Теоремы без структуры следования предикатов
СообщениеДобавлено: 05 сен 2017, 14:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14754
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 897
Спасибо получено:
3246 раз в 2998 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid
По-моему, Вы записали аксиому Архимеда. А я спросил про структуры теорем.

Правда, аксиома Архимеда в курсе математического анализа появляется при построении множества вещественных чисел. Поэтому мой довод неудачен. Попробую сформулировать вопрос по-другому. Насколько я понимаю, доказательство теоремы состоит из цепочки импликаций, начальное и конечное звенья которой присутствуют в её формулировке. Существуют ли теоремы иного рода?

Я исхожу из того, например, что если [math]P(x),~Q(x)[/math] - предикаты от одной переменной [math]x,[/math] то [math]P(x) \Rightarrow Q(x) \equiv \forall x~(P(x) \to Q(x)),[/math] причём в правой части тождества в скобках имеется импликация предикатов, а в левой - следование высказываний. Наверное, так точнее.

Тогда возникает (у меня) вопрос, что имели в виду авторы учебника?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Теоремы без структуры следования предикатов
СообщениеДобавлено: 05 сен 2017, 18:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 23:28
Сообщений: 3829
Cпасибо сказано: 482
Спасибо получено:
990 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 305

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
К сожалению, через планшет формулы на этом форуме у меня не отображаются. Поэтому гляну позже, когда буду дома.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Теоремы без структуры следования предикатов
СообщениеДобавлено: 06 сен 2017, 13:35 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 23:28
Сообщений: 3829
Cпасибо сказано: 482
Спасибо получено:
990 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 305

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
По-моему, Вы записали аксиому Архимеда. А я спросил про структуры теорем.


Andy, аксиомы - это теоремы, которые мы не доказываем в рамках данной теории (они являются основой для доказательства теорем). Для одной теории высказывание может быть аксиомой, а для другой - теоремой. В рамках арифметики Пеано данное высказывание можно доказать.

Andy писал(а):
Насколько я понимаю, доказательство теоремы состоит из цепочки импликаций, начальное и конечное звенья которой присутствуют в её формулировке. Существуют ли теоремы иного рода?


Доказательства являются цепочками следований (импликаций). Теоремы могут формулироваться вообще без логических связок.

Andy писал(а):
Я исхожу из того, например, что если [math]P(x),~Q(x)[/math] - предикаты от одной переменной [math]x,[/math] то [math]P(x) \Rightarrow Q(x) \equiv \forall x~(P(x) \to Q(x)),[/math] причём в правой части тождества в скобках имеется импликация предикатов, а в левой - следование высказываний. Наверное, так точнее.


Тут есть несколько замечаний. Запись [math]P(x) \Rightarrow Q(x)[/math] обозначает, что предикат [math]Q[/math] следует из предиката [math]P[/math]. Логически это эквивалентно тождественной истинности предиката [math]P(x) \to Q(x)[/math], а учитывая определения квантора всебщности, эквивалентно истинности высказывания [math]\forall x (P(x) \to Q(x))[/math]. Это одно высказывание. Если бы было [math]\forall x P(x) \to \forall x Q(x)[/math], то можно было бы говорить об импликации высказываний, а значит, и о следовании высказываний (нульместных предикатов).
Если Вы хотели сказать, что предикаты [math]P(x) \to Q(x)[/math] и [math]\forall x (P(x) \to Q(x))[/math] равносильны, то это не так, поскольку из [math]\forall x P(x)[/math] следует [math]P(x)[/math], но не наоборот.

Andy писал(а):
Тогда возникает (у меня) вопрос, что имели в виду авторы учебника?


Andy писал(а):
"Большинство теорем имеют структуру следования предикатов"


Они имели в виду, что большая часть (что такое большая часть?) теорем формулируются в импликативной форме "если... , то...".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Теоремы без структуры следования предикатов
СообщениеДобавлено: 06 сен 2017, 15:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14754
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 897
Спасибо получено:
3246 раз в 2998 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid
Ellipsoid писал(а):
Они имели в виду, что большая часть (что такое большая часть?) теорем формулируются в импликативной форме "если... , то...".

Благодарю Вас! Это то, что я и хотел уточнить про "большинство" теорем. При этом, насколько я понимаю, все теоремы можно сформулировать с использованием квантора всеобщности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Теоремы Ролля и Лангранжа. Проверить справедливость теоремы

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Still

8

940

25 дек 2011, 09:20

Структуры множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

MelD

2

191

16 дек 2012, 20:24

Алгебраические структуры

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Knyazhskiy

1

126

26 янв 2016, 18:31

Постоянная тонкой структуры

в форуме Атомная и Ядерная физика

radevish

13

1385

13 янв 2013, 00:24

Структуры математики и природы

в форуме Палата №6

risit

49

1671

07 июл 2014, 01:06

Алгоритмы циклической структуры в Маткаде

в форуме MathCad

HuNTeR17

1

611

03 июн 2012, 21:03

Исследовать линейный оператор ( Простой структуры?...)

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

FluffleMe

1

59

23 май 2017, 17:45

Устойчивость иерархич. структуры к изменению числа вершин

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

twone

0

72

05 дек 2016, 01:36

Линейная алгебра. Основные алгебраический структуры. Поля

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

monika

0

234

12 мар 2013, 03:10

Язык предикатов

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Dazerr

3

265

30 май 2013, 16:11


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved