Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Отношение = в теории Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 25 авг 2017, 06:38 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще раз здравствуйте, дорогие форумчане!

У меня созрели еще вопросы по теории ZF (которую я пока только изучаю). Утверждается, что в аксиоматике теории ZF есть только один неопределяемый термин "множество" и одно неопределяемое отношение [math]\in[/math]. Так вот, как известно, в аксиоме экстенсиональности присутствует отношение [math]=[/math] . Почему в таком случае это отношение не присутствует среди неопределяемых отношений аксиоматики? Или подразумевается, что знак [math]=[/math] не требует определения, а предполагается чем-то заранее известным? Но тогда вообще представляется странным наличие аксиомы экстенсиональности в списке аксиом теории ZF, потому что в таком случае утверждение этой аксиомы следует из интуитивного понимания отношения [math]=[/math] (из нашего, так сказать, его интуитивного определения).

И еще. В разных источниках встречаются различные формулировки (в смысле постулируемого утверждения) аксиомы экстенсиональности. 1) [math]\left( \forall x\right)[/math][math]\left(\forall y \right)[/math] [math]\left( \left( \forall z \right) \left( z \in x \leftrightarrow z \in y \right) \to \left( x=y \right) \right)[/math] (у Коэна "Теория множеств и континуум-гипотеза"); 2) [math]\left( \forall x\right)[/math][math]\left(\forall y \right)[/math] [math]\left( \left( \forall z \right) \left( z \in x \ \leftrightarrow z \in y \right) \leftrightarrow \left( x=y \right) \right)[/math] (у Игошина "Математическая логика и теория алгоритмов"); 3) [math]\left( \forall x\right)[/math][math]\left(\forall y \right)[/math] [math]\left( \left( \forall z \right) \left( z \in x \ \to z \in y \right) \to \left( x=y \right) \right)[/math] (у Казимирова "Введение в аксиоматическую теорию множеств"). Понятно, что 2) [math]\to 1) \to 3)[/math] Какое из приведенных утверждений является "минимальным" и в то же время таким, чтобы не потерять все логически выводимые из аксиоматики ZF следствия?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Отношение = в теории Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 25 авг 2017, 21:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 17:17
Сообщений: 1102
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
312 раз в 298 сообщениях
Очков репутации: 97

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теория множеств с точки зрения математической логики есть теория первого порядка. Доказательства этой теории тоже должны быть формальными, но они записываются словами в предположении, что их можно формализовать стандартным образом. В каждой такой теории есть алфавит, состоящий из констант, функциональных символов и предикатных символов. В теории множеств нет констант и функциональных символов.

Теории первого порядка бывают двух видов: с равенством или без. В первом случае равенство по определению является предикатным символом, и в аксиомы теории включаются аксиомы равенства. Они говорят, что равенство есть отношение эквивалентности, а также следующие аксиомы (приблизительно):

[math]\forall x,y\;x = y\to f(x) = f(y)[/math] для каждого функционального символа [math]f[/math]
[math]\forall x,y\;x=y\to P(x)\leftrightarrow P(y)[/math] для каждого предикатного символа [math]P[/math].

(Приблизительно, потому что символы не обязательно одноместные.) Заметим, что последнюю аксиому можно ослабить до

[math]\forall x,y\;x=y\to P(x)\to P(y)[/math]

при этом предыдущая версия останется выводимой. Из этих аксиом выводится [math]\forall x,y\;x=y\to A(x)\to A(y)[/math] для любой формулы [math]A[/math] (не обязательно атомарной).

Если теорию множеств рассматривать как теорию с равенством, то в ней два примитивных отношения, свойства которых задаются аксиомами: равенство и принадлежность. Соотношение между этими отношениями задается аксиомой объемности (экстенсиональности).

Если теорию множеств рассматривать как теорию без равенства, то в алфавите нет =, нет аксиом равенства и единственным примитивным отношением является принадлежность. Но в этом случае равенство будет выразимо. Именно, в логике первого порядка есть (мета)теорема о введении предикатных символов. Если в теории [math]T[/math] нет предикатного символа [math]P(x,y)[/math], то для любой формулы [math]A(x,y)[/math] можно рассмотреть теорию [math]T'[/math] в расширенном языке с [math]P[/math] и дополнительной аксиомой [math]\forall x,y\;P(x,y)\leftrightarrow A(x,y)[/math]. Тогда теория [math]T'[/math] будет консервативным расширением [math]T[/math], то есть они будут доказывать одни и те же формулы в старом алфавите. Более того, существует систематический перевод формул, "сохраняющий смысл", из расширенного языка в старый, и если формула с [math]P[/math] выводима в [math]T'[/math], то ее перевод выводим в [math]T[/math].

Таким образом, аксиома объемности может служить этой дополнительной аксиомой, которая определяет отношение =. Можно рассуждать в теории с равенством и этой аксиомой, но при необходимости заменить все использования = на их смысл согласно аксиоме.

Kirill1986 писал(а):
1) [math]\left( \forall x\right)[/math][math]\left(\forall y \right)[/math] [math]\left( \left( \forall z \right) \left( z \in x \leftrightarrow z \in y \right) \to \left( x=y \right) \right)[/math] (у Коэна "Теория множеств и континуум-гипотеза"); 2) [math]\left( \forall x\right)[/math][math]\left(\forall y \right)[/math] [math]\left( \left( \forall z \right) \left( z \in x \ \leftrightarrow z \in y \right) \leftrightarrow \left( x=y \right) \right)[/math] (у Игошина "Математическая логика и теория алгоритмов"); 3) [math]\left( \forall x\right)[/math][math]\left(\forall y \right)[/math] [math]\left( \left( \forall z \right) \left( z \in x \ \to z \in y \right) \to \left( x=y \right) \right)[/math] (у Казимирова "Введение в аксиоматическую теорию множеств"). Понятно, что 2) [math]\to 1) \to 3)[/math]
На самом деле 3) влечет 1), потому что в 3) посылка импликации более слабая. И в издании Казимирова 2000 г. аксиома экстенсиональности формулируется так: [math]x=y\to(x\in z\to y\in z)[/math].

Формулы 1) недостаточно в теории без равенства, потому что если = есть произвольный предикат, то аксиома говорит только, что он следует из посылки, но ничего не говорит, про то, что следует из него. Если же теория с равенством, то обратная импликация имеет место по свойствам равенства, потому что равные термы можно заменят на равные в любом контексте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Отношение = в теории Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 26 авг 2017, 19:29 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемый 3D Homer, большое спасибо! Я отвечу попозже, так как требуется время, чтобы переварить ту несомненно важную и красивую идею, которую Вы мне сообщили.

Нельзя не ценить столь развернутые и грамотные ответы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Kirill1986

15

203

19 авг 2017, 11:54

Отношение тангенсов

в форуме Тригонометрия

Anna_0703

2

73

11 апр 2017, 19:39

Исследовать отношение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

VladKomosh

9

291

02 ноя 2014, 23:40

Отношение на множестве

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

marnikus

6

488

07 окт 2012, 13:53

Бинарное отношение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

pathfinder

0

58

23 дек 2016, 01:11

Отношение функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Hagrael

4

242

06 апр 2012, 16:14

Отношение Грина

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Will

0

40

21 ноя 2016, 13:53

Бинарное отношение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

DooM96rus

1

133

12 окт 2015, 17:10

Отношение расстояний

в форуме Алгебра

Ilya83

4

66

15 окт 2016, 09:47

Максимальное отношение

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Nastya Way

2

167

27 фев 2016, 21:45


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: huffy и гости: 29


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved