Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 19 авг 2017, 11:54 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток!

Я пытаюсь изучать аксиоматическую теорию множеств. Решил начать с ZF как наиболее популярной. Вопросов значительно больше, чем ответов. Да и вопросы сформулировать, увы, здесь не всегда просто. Просто сплошная непонятность! Попытаюсь наиболее ясно сформулировать непонятные мне моменты.

В любой аксиоматической теории вводятся неопределяемые объекты и отношения между ними. Например, в евклидовой геометрии такими неопределяемыми объектами являются "точка", "прямая", "плоскость", "движение", а неопределяемыми отношениями - бинарное отношение "инцидентность" и тернарное отношение "лежит между" (согласно немного видоизмененной аксиоматике Гильберта, приведенной в книге Костина "Основания геометрии") . В теории Пеано натуральных чисел неопределяемым объектом является "натуральное число", а неопределяемым отношением - бинарное отношение "следовать за". В связи с этим возникает вопрос. Какие неопределяемые понятия и отношения используются в аксиоматике ZF? С моей точки зрения, неопределяемыми понятиями должны быть "множества", "элементы", неопределяемыми отношениями - бинарное отношение "принадлежит" (∈), "равно" (=). Но если я прав (хотя, не похоже), почему тогда во всех аксиомах ZF используются только малые латинские буквы? Иначе говоря, почему на уровне букв не делается различия между "множествами" и "элементами"? В книге Н. И. Казимирова "Введение в аксиоматическую теорию множеств" на стр. 4 в первом абзаце утверждается: " В теории множеств (как в наивной, так и в формальной) мы любой объект считаем множеством, т. к., во-первых, это ничуть не мешает нам моделировать при помощи теории множеств реальные объекты, а во-вторых, это упрощает построение самой теории". Т. е. нет понятия "элемент" в аксиоматике ZF? Выходит, что элементами любого множества в ZF являются элементы, сами являющиеся множествами. Но тогда получается, например, следующее. Возьмем, к примеру, множество A, состоящее из числа 1: A={1}. Верным будет утверждение 1 ∈ A. Но 1 - само множество! Что ему тогда принадлежит? 1? Т. е. 1 ∈ 1? Так что ли поступают в аксиоматической теории множеств? (Напомню, что во многих учебниках по наивной теории множеств запись 1 ∈ 1 признается не имеющей смысла; верно лишь, что 1 ∈ {1}). Я заранее прошу прощения за большую выдержку из упомянутой книги Казимирова, но вот что он сам пишет по поводу такого странного положения дел:

"С самого начала мы предположили, что все множества, какие мы рассматриваем в наивной (канторовской) теории множеств представляют из себя произвольные наборы множеств, никаких других ограничений на понятие множества мы не накладывали. Покажем, что такое достаточно произвольное определение множества не может быть корректным с точки зрения логики, ибо приводит к противоречию. Следующий парадокс, который мы получим здесь, называется парадоксом Расселла.
Поскольку атомарная формула х ∈ у, выражающая принадлежность множества х к множеству у, имеет смысл для любых множеств х и у, ничто не мешает нам рассмотреть такой ее вид: х ∈ х. С точки зрения здравого смысла формула х ∈ х должна быть ложной для любого множества х, ибо мы считаем, что часть некоего объекта (в данном случае множества) не может совпадать с самим этим объектом. Поэтому мы вводим следующее определение: множество х такое, что х ∉ x, называется регулярным, а множество х, для которого х∈х, назовем сингулярным.
Снова нам ничто не мешает собрать все регулярные множества в одно множество R, точнее, R={x|x ∉ x}. Попытаемся теперь ответить на следующий вопрос: регулярно или сингулярно множество R?
Предположим, что множество R регулярно, т.е. R ∉ R. Но тогда R удовлетворяет тому свойству, которым оно само определено, значит, R ∈ R. Противоречие. Предположим тогда, что R сингулярно, т. е. R ∈ R. Но тогда R не удовлетворяет тому свойству, которым определены его элементы, следовательно, R ∉ R. Противоречие.
Итак, множество R не регулярно и не сингулярно, чего быть не может, если мы принимаем закон исключенного третьего (либо А, либо не А). Так может быть, R — не множество?
Полученный парадокс, как может показаться, доказывает несостоятельность самой идеи множества, как высшей точки абстракции в математических науках. На самом же деле весь тот путь, который мы прошли при построении множеств и при рассмотрении парадокса Расселла, уже дает предпосылки к решению этого парадокса. Мы с самого начала считали, что множество есть произвольная совокупность (множеств), что привело к построению парадоксального множества R. Насколько велико это множество, мы также не знаем, ибо мы предположили существование сингулярных множеств. С другой стороны, если предположить, что все множества регулярны, то R будет просто множеством всех множеств. Конечно, это не избавляет нас от противоречия, но зато дает повод попытаться исключить из рассмотрения сингулярные множества, а также «слишком большие» совокупности множеств путем навязывания множествам некоторых условий или, как принято говорить, аксиом".

Но в нашем случае речь идет не о "больших множествах", а всего лишь о множестве, состоящем из одного элемента. И, по определению Казимирова, оно сингулярно! Итак, есть ли в теории ZF различие между "множествами" и "элементами"? Что-то уже много написал... Если кто-то поможет ответить, буду искренне признателен. Остальные вопросы в ходе дискуссии. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 19 авг 2017, 14:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 23:28
Сообщений: 3827
Cпасибо сказано: 482
Спасибо получено:
989 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 305

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно, Вам будет интересна книга: Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 19 авг 2017, 17:06 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо! Она есть у меня в электронном варианте. Честно, не думаю, что это - самая лучшая книга. Особенно, если есть желание по существу, строго ответить на поставленный вопрос. Я вот для себя нашел неплохой вариант: Н. А. Вавилов. Не совсем наивная теория множеств. Но создается впечатление, что люди об этом не сильно-то задумываются. На просторах Интернета есть разные, по существу взаимоисключающие ответы на этот вопрос. В одних источниках утверждается, что только термин "множество" и отношение "принадлежит" являются неопределяемыми понятиями ZF. А в других, помимо этих двух, говорится еще об одном неопределяемом понятии "элемент". В общем-то, первый вариант проходит до тех пор, пока мы считаем, что множества состоят из элементов, которые сами являются множествами. Но ведь рано или поздно мы дойдем до какого-то множества, которое содержит в качестве элементов не только множества, но и "неделимые" элементы, множествами не являющиеся. И как тут-то быть? Может, и в самом деле предполагается, что в ZF 1 [math]\in 1[/math], 2 [math]\in 2[/math] и т. д. - это верные утверждения? Кто-нибудь знает? Прошу, откликнитесь :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 19 авг 2017, 20:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 17:17
Сообщений: 1100
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
311 раз в 297 сообщениях
Очков репутации: 97

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В теории множеств Цермело-Френкеля все объекты, о которых идет рассуждение, являются множествами. В аксиомах участвуют два неопределенных понятия: множество и отношение принадлежности. Аксиомы говорят, как эти понятия сочетаются друг с другом.

Понятие "элемент" не является неопределяемым. "Элемент множества [math]A[/math]" — это такой [math]x[/math], что [math]x\in A[/math]. "Элемент какого-то множества" — это [math]x[/math], удовлетворяющий формуле [math]\exists a\,x\in a[/math].

Одна из аксиом утверждает существование пустого множества. Именно оно является "примитивным элементом". Если взять множество, взять любой из его элементов, затем любой из его элементов и т.д., то за конечное время мы придем к пустому множеству.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 19 авг 2017, 21:35 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо!

Чувствуется, что, в отличие от меня, Вы разбираетесь в теории. То, что Вы написали, мне хорошо понятно. Но вопрос-то вот в чем. Элемент, определение которого Вы сформулировали, сам является множеством, поскольку, как Вы правильно указали, "в теории множеств Цермело-Френкеля все объекты, о которых идет рассуждение, являются множествами". Рассмотрим множество A={1}. 1 - это его элемент: 1∈A. Но 1 - это множество! Все объекты в ZF - множества. Прошу Вас указать элемент, который принадлежит этому множеству.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 19 авг 2017, 21:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3194
Cпасибо сказано: 220
Спасибо получено:
199 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986 писал(а):
Прошу Вас указать элемент, который принадлежит этому множеству.


Ну так пустое множество ведь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 19 авг 2017, 21:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 17:17
Сообщений: 1100
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
311 раз в 297 сообщениях
Очков репутации: 97

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В языке ZF (теории множеств Цермело-Френкеля) нет понятия "1". В арифметике есть, а в теории множеств нет. Это примерно аналогично тому, что слово "сутки" есть в русском языке, но его нет в английском, и там приходится говорить "24 часа". Так же и в теории множеств можно сформировать множества, похожие на натуральные числа (например, в n-ом множестве будет n элементов). Их можно назвать числами, но это не совсем то же, что числа в арифметике. Это просто множества специального вида.

Аксиомы в основном посвящены тому, какие множества можно сформировать. Так, начинают с пустого множества. Затем можно сформировать множество, единственным элементом которого является [math]\emptyset[/math]. Можно сформировать множество из двух элементов, которыми являются уже сформированные множества. Можно взять объединение и булеан (множество всех подмножеств) семейства множеств, и т.д. Для других конструкций просто нет средств их формирования.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 19 авг 2017, 22:14 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3194
Cпасибо сказано: 220
Спасибо получено:
199 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
Аксиомы в основном посвящены тому, какие множества можно сформировать. Так, начинают с пустого множества. Затем можно сформировать множество, единственным элементом которого является ∅. Можно сформировать множество из двух элементов, которыми являются уже сформированные множества. Можно взять объединение и булеан (множество всех подмножеств) семейства множеств, и т.д. Для других конструкций просто нет средств их формирования.


Таким образом в ZF, всё возникает из пустоты и человеческого сознания, которое эту пустоту множит )))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
3D Homer
 Заголовок сообщения: Re: Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 20 авг 2017, 11:12 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде как все и понятно теперь. Рассмешили, конечно, что пьяный мужик - это пустое множество (это если вместо "1" использовать "пьяного мужика"). Но если не использовать "нематематические" множества, то зачем тогда теория ZF нужна в математике? Подумать только! В арифметике (теории чисел, анализе) любой элемент множества натуральных (целых, рациональных, вещественных, комплексных, простых, иррациональных, алгебраических, трансцендентных и т. п.) чисел - пустое множество! :OO: Больше того, поскольку 1 - это пустое множество и [math]\pi[/math] - тоже пустое, то, если я не напутал, 1= [math]\pi[/math] (!) :shock: А, ну да! Забыл! Вообще все комплексные (да и гиперкомплексные вместе с ними) числа равны друг другу! :P Прикончим математику!!! FINISH HIM!!! :Yahoo!:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
СообщениеДобавлено: 20 авг 2017, 12:32 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решил еще резюмировать. Если теория ZF была создана для устранения антиномий канторовской теории множеств, то сама ZF привела к появлению новых проблем, описанных в предыдущем моем сообщении.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Отношение = в теории Цермело-Френкеля

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Kirill1986

2

93

25 авг 2017, 06:38

Теория множеств. задача на определение в явном виде множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

alexandrkamarov

1

264

05 сен 2014, 18:16

Теория множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

dasha math

5

224

07 дек 2014, 08:42

Теория множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Avrora

7

80

17 окт 2016, 17:38

Теория множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Katya2009

1

147

14 июн 2014, 20:08

Теория множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Malika Turdina

8

378

27 мар 2013, 21:45

Теория множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Hateshinai

12

546

17 мар 2013, 14:25

Теория множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

hranitel6

3

253

03 дек 2013, 18:31

Теория множеств

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

pewpimkin

3

475

30 мар 2013, 09:49

Теория множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Dailar

2

119

03 окт 2014, 11:29


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved