Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача о кабинетах
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=62&t=54496
Страница 1 из 1

Автор:  LakVor20 [ 16 май 2017, 16:32 ]
Заголовок сообщения:  Задача о кабинетах

Доброго времени суток. Подскажите, правильный ли у меня ответ и как его оформить?
Есть: 24 кафедры. На первом этаже кабинеты у 7 кафедр, на втором - у 8, третьем - у 15. На первом и втором - 2. На первом и третьем - 3.
Сколько кафедр имеет этажей только на третьем?
Решить нужно используя формулу включений-исключений.
Я решил как-то так:
[math]S=A \cup B \cup C[/math]
[math]S=A + B +C - (A \cap B) - (A \cap C) - (B \cap C) + x[/math]
Нашел х = 1. Это кол-во кафедр, у которых на всех трех этажах есть кабинет.
Затем от [math]B \cap C[/math] или [math]A \cap C[/math] можно отнять единицу.(т.к. [math]A \cup B \cup C[/math] встречается дважды)
В итоге получается: 15 - 3-(3-1) = 10. Но как-то больно много получается..

[math](A \cup B) \equiv (A \cap B) \cup ((A \cup B) \cap (¬A \cup ¬B))[/math]

Ну и здесь не получается доказать.. По закону де Моргана можно преобразовать последнюю часть, но дальше как?

Автор:  LakVor20 [ 16 май 2017, 22:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача о кабинетах

UPD
2-е не актуально. Может кто-нибудь насчет первого подсказать?

Автор:  Booker48 [ 16 май 2017, 23:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача о кабинетах

А вы условие напишите не так, как помните, а так, как в книге. Чтобы было понятно, что такое "На первом и втором - 2", если при этом "На первом этаже кабинеты у 7 кафедр, на втором - у 8". И как понимать вопрос "Сколько кафедр имеет этажей только на третьем?"

И, если можно, что означают ваши переменные S, A, B, C, x? Почему они соединены знаками как арифметических, так и логических операций?

Автор:  LakVor20 [ 16 май 2017, 23:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача о кабинетах

Booker48 писал(а):
Сколько кафедр имеет этажей только на третьем?"

Здесь мой косяк вышел.
Должно быть так:
Сколько кафедр имеют кабинеты только на третьем этаже.
Booker48 писал(а):
Чтобы было понятно, что такое "На первом и втором - 2", если при этом "На первом этаже кабинеты у 7 кафедр, на втором - у 8". И как понимать вопрос "Сколько кафедр имеет этажей только на третьем?"


Имеется 24 кафедры, в распоряжении которых - 3 этажа. На первом этаже имеют кабинеты 7 кафедр, на втором этаже 8 кафедр, на третьем этаже 15 кафедр, причем на первом и втором этажах расположены кабинеты 2-х кафедр, на первом и третьем – 3-х кафедр, на втором и третьем – 3-х кафедр. Сколько кафедр имеют кабинеты только на третьем этаж

Booker48 писал(а):
Почему они соединены знаками как арифметических, так и логических операций?

LakVor20 писал(а):
Решить нужно используя формулу включений-исключений

Например, в случае двух множеств A,B формула включений-исключений имеет вид:

[math]|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|[/math]


S - объединение всех 3-х множеств.
A - кол-во кафедр с кабинетами на 1-м этаже,
B - на втором.
C - третьем.
x - кол-во кафедр с кабинетами на всех трех этажах.

Автор:  Booker48 [ 16 май 2017, 23:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача о кабинетах

Там и сейчас косяки.
LakVor20 писал(а):
Имеется 24 кафедры, в распоряжении которых - 3 этажа. На первом этаже имеют кабинеты 7 кафедр, на втором этаже 8 кафедр, на третьем этаже 15 кафедр.

Это нормально.
LakVor20 писал(а):
причем на первом и втором этажах расположены кабинеты 2-х кафедр, на первом и третьем – 3-х кафедр, на втором и третьем – 3-х кафедр.

А это, видимо, надо понимать так: Всего 2 кафедры имеют кабинеты на 1-м этаже и 2-м этажах, 3 кафедры - на 1-м и 3-м.
И 3 кафедры - на 2-м и 3-м. (эту фразу выделяю, потому что её нет в вашем исходном сообщении).

Это правильная запись задачи?

Автор:  LakVor20 [ 16 май 2017, 23:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача о кабинетах

Booker48 писал(а):
Там и сейчас косяки.
LakVor20 писал(а):
Имеется 24 кафедры, в распоряжении которых - 3 этажа. На первом этаже имеют кабинеты 7 кафедр, на втором этаже 8 кафедр, на третьем этаже 15 кафедр.

Это нормально.
LakVor20 писал(а):
причем на первом и втором этажах расположены кабинеты 2-х кафедр, на первом и третьем – 3-х кафедр, на втором и третьем – 3-х кафедр.

А это, видимо, надо понимать так: Всего 2 кафедры имеют кабинеты на 1-м этаже и 2-м этажах, 3 кафедры - на 1-м и 3-м.
И 3 кафедры - на 2-м и 3-м. (эту фразу выделяю, потому что её нет в вашем исходном сообщении).

Это правильная запись задачи?


Да, правильная.

Автор:  Booker48 [ 17 май 2017, 00:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача о кабинетах

Тогда ответ 11.
Попозже запишу в терминах множеств, я долго оформляю, сейчас времени нет. :(

Автор:  LakVor20 [ 17 май 2017, 10:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача о кабинетах

Booker48 писал(а):
Тогда ответ 11.

Хм.. Ну, ладно, видать я что-то не так сделал.
Booker48 писал(а):
Попозже запишу в терминах множеств, я долго оформляю

Хорошо, подожду.

UPD
В общем на данный момент как-то так:
S - мн. всех кафедр.
A - кафедры с каб. на первых этажах, B и C - на вторых и третьих.
По условию:
[math]A \cap B =2[/math] [math]A \cap C =3[/math] [math]B \cap C =3[/math]
[math]S = 24; A = 7; B = 8; C = 15[/math]
[math]|D| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|[/math]
Откуда [math]|A \cap B \cap C| = 2[/math]
D - искомое множество.(кафедр, у которых кабинеты только на третьем)
[math]D = |C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| - |B \cap C|[/math]
D = 11. Так верно?

Автор:  Booker48 [ 18 май 2017, 01:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача о кабинетах

LakVor20 писал(а):
UPD
В общем на данный момент как-то так:
S - мн. всех кафедр.
A - кафедры с каб. на первых этажах, B и C - на вторых и третьих.
По условию:
[math]A \cap B =2[/math] [math]A \cap C =3[/math] [math]B \cap C =3[/math]
[math]S = 24; A = 7; B = 8; C = 15[/math]
[math]|D| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|[/math]
Откуда [math]|A \cap B \cap C| = 2[/math]
D - искомое множество.(кафедр, у которых кабинеты только на третьем)
[math]D = |C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| - |B \cap C|[/math]
D = 11. Так верно?

Как-то так, да.
Но обратите внимание на правильность записи.
Вот это - [math]A \cap B =2[/math] - неверно.
Правильно - [math]|A \cap B| = 2[/math]
[math]A[/math] - это множество, а [math]|A|[/math] - это мощность множества, в нашем случае - количество элементов в нём. У вас путаница возникает с операциями, арифметические операции возможны только с мощностями множеств, а теоретико-множественные (объединение/пересечение и т.п.) - со множествами.
Если обозначить кафедры через [math]K1, K2, ..., K24[/math], то [math]A \cap B[/math] [math]\equiv[/math] [math]\left\{ K7, K15 \right\}[/math] (например). А [math]|A \cap B| = 2[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/