Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Объединение счетного числа счетных множеств счетно
СообщениеДобавлено: 16 сен 2016, 17:52 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
03 мар 2016, 21:41
Сообщений: 89
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В Верещагине-Шене такое доказательство:

(в) Пусть имеется счётное число счётных множеств A1, A2, . . .
Расположив элементы каждого из них слева направо в последовательность (Ai = {ai0, ai1, . . . }) и поместив эти последовательности друг под другом, получим таблицу

a00 a01 a02 a03 . . .
a10 a11 a12 a13 . . .
a20 a21 a22 a23 . . .
a30 a31 a32 a33 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .

Теперь эту таблицу можно развернуть в последовательность, например, проходя по очереди диагонали:
a00, a01, a10, a02, a11, a20, a03, a12, a21, a30, . . .
Если множества Ai не пересекались, то мы получили искомое представление для их объединения. Если пересекались, то из построенной последовательности надо выбросить повторения.
Если множеств конечное число или какие-то из множеств конечны, то в этой конструкции части членов не будет — и останется либо конечное, либо счётное множество. ✄

После доказательство говорится, что в нем есть тонкий момент:

мы знаем, что множества Ai счётны, то есть что для каждого i существует взаимно однозначное соответствие между N и Ai. Но нужно выбрать и фиксировать эти соответствия, прежде чем удастся построить соответствие между объединением всех Ai и N

Не совсем понимаю, что они имеют в виду в разборе этого тонкого момента.
Ведь в ходе доказательства уже, видимо, выбрано такое соответствие между множествами N и Ai и между элементами каждого Ai и N. И все эти соответствия выписываются в виде таблицы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объединение счетного числа счетных множеств счетно
СообщениеДобавлено: 16 сен 2016, 21:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Объяснение в книге немного вводит в заблуждение, что простительно, потому что оно очень неформальное. В пункте (б) теоремы (в любом бесконечном множестве есть счетное подмножество) аксиома выбора не нужна, чтобы выбрать каждый отдельный [math]b_i[/math]. Однако она нужна, чтобы доказать, что собрание всех таких [math]b_i[/math] образует множество. Аналогично в пункте (в) (объединение счетного числа счетных множеств счетно) не требуется аксиомы выбора, чтобы выбрать каждое в отдельности соответствие между [math]\mathbb{N}[/math] и [math]A_i[/math]. Однако по доказательству требуется составить одну функцию (являющуюся множеством), объединяющую эти соответствия. Для этого нужна аксиома выбора.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объединение счетного числа счетных множеств счетно
СообщениеДобавлено: 17 сен 2016, 12:05 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
03 мар 2016, 21:41
Сообщений: 89
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
В пункте (б) теоремы (в любом бесконечном множестве есть счетное подмножество) аксиома выбора не нужна, чтобы выбрать каждый отдельный [math]b_i[/math].


А как тогда выбирать элементы из этого множества?

3D Homer писал(а):
Однако она нужна, чтобы доказать, что собрание всех таких [math]b_i[/math] образует множество.


Тоже не понял.Разве выбранные элементы уже не образуют множество? И какая связь аксиомы выбора с тем, что полученные элементы образуют множество? Я про аксиомы теории множеств почти ничего не знаю, думал аксиома выбора просто гарантирует существование способа по которому можно выбирать элементы из множества.


материал в книге немного сложно понимать, но я лучше не нашел. Может быть Вы подскажете, что почитать по данным темам? (Дискретная математика, Теория множеств и Логика)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объединение счетного числа счетных множеств счетно
СообщениеДобавлено: 17 сен 2016, 15:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теория множеств делится на наивную и аксиоматическую. В наивной теории понятие множества не определяется и изучаются только операции над множествами и их свойства. В этой теории можно прийти к противоречию, если попытаться сформировать множество некорректными методами. Целью аксиоматической теории множеств является избавление от этих противоречий. Эта теория задается набором аксиом. Таким образом, аксиоматическая теория множеств -- это слой теории поверх обычной логики, на которой строятся все математические рассуждения. Если быть более формальным, аксиомы рассматриваются в так называемой логике первого порядка.

famesyasd писал(а):
А как тогда выбирать элементы из этого множества?
В обычной логике есть правило устранения (или использования) квантора существования. Если у вас есть доказанное утверждение или предположение вида [math]\exists x\,P(x)[/math], то вы как автор доказательства имеете право ввести в рассмотрение новое имя [math]x_0[/math] объекта, который удовлетворяет свойству [math]P[/math] (то есть выполняется [math]P(x_0)[/math]) и использовать этот [math]x_0[/math] до конца доказательства. Это правило логики и не требует никакой аксиомы выбора. Например, если известно, что [math]n[/math] -- составное натуральное число, то вы можете рассмотреть и использовать [math]p[/math] и [math]q[/math] такие, что [math]n=pq[/math]. Если у вас есть опыт программирования, вы можете рассматривать правило устранение квантора существования как функцию, которой передается (доказательство) утверждения [math]\exists x\,P(x)[/math] и которая возвращает некоторый [math]x_0[/math], такой что имеет место [math]P(x_0)[/math].

famesyasd писал(а):
Разве выбранные элементы уже не образуют множество?
Не всякое собрание элементов образует множество. Как сказано выше, бесконтрольное образование множеств приводит к парадоксам. Аксиомы теории множеств и служат для того, чтобы сказать, какое семейство элементов можно назвать множеством.

Если рассматривать аналогию с программированием, то множество есть аналог коллекции, такой как массив или список. Не из каждого набора данных можно сформировать коллекцию. Например, во многих языках программирования элементы массива должны быть одного типа. Могут также быть ограничения по размеру: например, нельзя создать массив размером [math]10^{10}[/math]. В этом смысле аналогами аксиом теории множеств служат функции создания коллекций.

famesyasd писал(а):
И какая связь аксиомы выбора с тем, что полученные элементы образуют множество?
Аксиома выбора говорит (приблизительно), что если есть множество, состоящее из множеств [math]S_i[/math], то можно выбрать по одному элементу из каждого [math]S_i[/math] и получившееся семейство элементов будет образовывать легитимное множество. Так, в доказательстве про счетное объединение счетных множеств у каждого счетного множества [math]A_i[/math] есть множество [math]F_i[/math] взаимно-однозначных функций из [math]A_i[/math] в [math]\mathbb{N}[/math]. Чтобы создать единую функцию из [math]\bigcup_i A_i[/math] в [math]\mathbb{N}[/math], нужно сначала создать множество, в котором для каждого [math]i[/math] есть один элемент из [math]F_i[/math]. Для этого и используется аксиома выбора.

Вот страница с хорошим введением в аксиому выбора, к сожалению, на английском.

famesyasd писал(а):
материал в книге немного сложно понимать, но я лучше не нашел.
Книга Верещагина и Шеня рассчитана на студентов-математиков младших курсов. Есть книги по дискретной математике, где изложение наивной теории множеств более краткое и простое.

Р. Хаггарти. Дискретная математика для программистов.
Ф.А. Новиков. Дискретная математика для программистов.
Судоплатов С.В., Овчинникова Е. В. Элементы дискретной математики.

Можно, наверное, найти более новые книжки на ozon.ru.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
famesyasd
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Подмножество счётного множества счётно

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Teorinorgchem

8

483

01 янв 2018, 11:35

Произведение счётных множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

dserp18

8

172

12 июн 2021, 20:04

Объединение семейства множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

verilog

3

224

14 ноя 2017, 03:57

Объединение бесконечных множеств.

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Viktoria 1997

1

341

09 дек 2017, 11:32

Объединение открытых множеств открыто

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Elphen Lied

2

431

21 сен 2020, 11:42

Вероятность пересечения счётного числа событий

в форуме Теория вероятностей

mouseinthefogg

1

96

30 окт 2023, 17:35

Вопрос по определению числа множеств в задаче

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Calabras

4

136

15 окт 2023, 10:55

Счетно ли множество всех функций

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

plktre

7

558

23 дек 2018, 23:05

Счетно ли множество действительных чисел?

в форуме Палата №6

ivashenko

13

1206

21 янв 2016, 02:49

Счётно ли множество всех функций f: A → B

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

plktre

1

501

16 дек 2018, 12:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved