Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
student3 |
|
|
Сама задача: Цитата: Рассмотрим следующее свойство подмножества [math]F[/math] множества натуральных чисел [math]\mathbb{N}[/math]: Существует такое [math]N\in\mathbb{N}[/math], что [math]F[/math] не содержит арифметической прогрессии длинной больше [math]N[/math]. Докажите, что набор состоящий из таких множеств и всего множества [math]\mathbb{N}[/math], образует совокупность замкнутых множеств некоторой топологии в [math]\mathbb{N}[/math]. При этом дана указка воспользоваться обобщенной теоремой Ван дер Вардена: Цитата: Для всякого [math]n\in\mathbb{N}[/math] существует такое[math]N\in\mathbb{N}[/math], что если множество [math]\{1,2,...,N\}[/math] разбить на два подмножества, то в одном из них обязательно найдется арифметическая прогрессия длиной [math]n[/math]. Мы знаем 3 аксиомы для задания топологии через замкнутые множества: Цитата: Если совокупность [math]G[/math] подмножеств множества [math]X[/math] удовлетворяет условиям: 1) Пересечение любого набора множеств, принадлежащих [math]G[/math], принадлежит [math]G[/math] 2) Объединение любого конечного набора множеств, принадлежащих [math]G[/math], принадлежит [math]G[/math] 3) Пустое множество и само [math]X[/math] принадлежат [math]G[/math] То [math]G[/math] есть совокупность всех замкнутых множеств некоторого топологического пространства. Ну а теперь перейдем к решению: То что наше [math]F[/math] отвечает первому 1 и 3 пункту очевидно, а вот с объединением какой-то бред. Ну вот положим множества [math]\{1,2,3\}[/math] и [math]\{4,5,6\}[/math], они оба не содержат арифметической прогрессии длиной больше 3, а их объединение, очевидно, имеет прогрессию длиной 6, стало быть, оно не подмножество [math]F[/math], у которого нет прогрессии длиннее 3. На этом я и запоролся. Видимо, я не понимаю какой-то очевидной истины, или пытаюсь доказать не то, что просят. А вот решение приводимое в самом учебнике: Цитата: Для проверки условия 2 воспользуемся теоремой Ван дер Вардена. Пусть множества [math]A[/math] и [math]B[/math] не содержат арифметических прогрессий длины большей или равной [math]n[/math]. Если бы в множестве [math]A\cup B[/math] содержалась бы достаточно длинная прогрессия, то в одном из исходных множеств нашлась бы прогрессия длины [math]n[/math]. Я не понимаю, где здесь аналогия с теоремой, у нас же [math]A\cup B[/math] это не то самое заветное [math]N[/math], которое как ни разбей оно будет содержать прогрессию длиной n, это просто объединений фактически произвольных множеств. Где у меня тараканы? Почему мой контрпример неверен? (хотя это по сути тот же вопрос) |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Постарайтесь понять, почему любое конечное множество будет замкнутым в этой топологии.
|
||
Вернуться к началу | ||
student3 |
|
|
swan писал(а): Постарайтесь понять, почему любое конечное множество будет замкнутым в этой топологии. Хм, любые множества с ариф. прогрессией длиннее [math]N[/math] по определению не могут быть замкнуты в этой топологии, ведь она состоит из дополнений к подмножествам[math]F[/math] которые Цитата: не содержит арифметической прогрессии длинной больше [math]N[/math] И их дополнение, очевидно, не подходит под описание. Тобишь, например, [math]\{ 1,2,...,N,N+1 \}[/math] не замкнуто. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Оно замкнуто, поскольку не содержит арифметической прогрессии длиной N+2
Внимательно читайте определение подмножества F. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: student3 |
||
student3 |
|
|
swan писал(а): Оно замкнуто, поскольку не содержит арифметической прогрессии длиной N+2 Внимательно читайте определение подмножества F. Ясно, значит я неправильно понял условие. [math]N[/math] должно просто существовать (и его существование очевидно для конечных множеств), но это самое [math]N[/math] не закреплено для всех [math]F[/math], то есть [math]F[/math] - это просто множество с небесконечными ариф. прогрессиями. Тогда для объединения конечных множеств все просто, там ариф. прогрессия не длиннее суммы длин максимальных ариф. прогрессий, для бесконечных множеств: если при объединения получается бесконечная ариф. прогрессия, то так как [math]\mathbb{N}[/math] ограничено снизу, выходит, что одно из них сразу содержало бесконечную ариф. прогрессию и получаем противоречие. Большое спасибо за помощь. Но где тут задействована теорема Ван дер Вардена? |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
student3 писал(а): то есть [math]F[/math] - это просто множество с небесконечными ариф. прогрессиями. Это очень криво сформулировано. Я думаю, что вы хотели сказать, что [math]F[/math] - это множество, не содержащее арифметическую прогрессию бесконечной длины. Это не так. Можно привести пример, когда у множества не будет бесконечной арифметической прогрессии (все прогрессии конечной длины), но тем не менее в [math]F[/math] оно входить не будет. Постарайтесь понять разницу и придумать такой пример самостоятельно. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
student3 писал(а): если при объединения получается бесконечная ариф. прогрессия, то так как [math]\mathbb{N}[/math] ограничено снизу, выходит, что одно из них сразу содержало бесконечную ариф. прогрессию и получаем противоречие. И это спорное заявление. Да что там спорное - оно явно ошибочно. Можно разделить [math]\mathbb{N}[/math] на 2 подмножества без бесконечных прогрессий. Естественно, эти подмножества не будут входить в [math]F[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
student3 |
|
|
swan писал(а): Это очень криво сформулировано. Я думаю, что вы хотели сказать, что [math]F[/math] - это множество, не содержащее арифметическую прогрессию бесконечной длины. Это не так. Можно привести пример, когда у множества не будет бесконечной арифметической прогрессии (все прогрессии конечной длины), но тем не менее в [math]F[/math] оно входить не будет. Постарайтесь понять разницу и придумать такой пример самостоятельно. Так, до меня дошло, мы можем например взять множество с прогрессиями длиной 1,2,3... в нем они все небесконечны, но самой большой нету, тобишь и [math]N[/math] не существует. swan писал(а): И это спорное заявление. Да что там спорное - оно явно ошибочно. Можно разделить N на 2 подмножества без бесконечных прогрессий. Естественно, эти подмножества не будут входить в F. Тут, да, маху дал Учитывая все это, в случае объединения бесконечных м-в получаем, что если после слияния м-в их элементы начнут дополнять друг друга, как члены одной прогрессии, то они должны сменятся нециклично, тобишь так, чтобы не получилось беск. прогрессий в изначальных. Простейший пример: ABBAAABBBBAAAAA[...], где буквой обозначено множество, которому принадлежит элемент, тут связать в прогрессию элементы одной группы вида [math]A[/math] с другими группой того же вида не получится, ибо в один прекрасный момент шаг упрется в [math]B[/math]. Очевидно, что если такое хаотичное распределение возможно, значит задача некорректна. Тогда доказываем его невозможность: И тут, я так понимаю, должна получиться незавязочка в том, для нецикличных распределений нам нужно, чтобы изначальные множества не имели самой большой прогрессии (как в моем примере распределения) (то есть они сразу не принадлежат [math]F[/math]), а иначе хаотичность устроить не получится и найдется такой шаг, который создаст бесконечную прогрессию в изначальном множестве. Но доказать это у меня не получилось, и уж тем более впихнуть сюда теорему Ван дер Вардена. Несмотря на то, что с условием я, видимо, окончательно разобрался, в самой задаче тупик. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
student3 писал(а): Но доказать это у меня не получилось, и уж тем более впихнуть сюда теорему Ван дер Вардена. Это странно, потому что вы же цитировали доказательство. Давайте я вам его напомню. Пусть множества [math]A[/math] и [math]B[/math] не содержат арифметических прогрессий длины большей или равной [math]n[/math]. А множество [math]A\cup B[/math] содержит прогрессию [math]x_1, x_2, \dots, x_N[/math], где [math]N[/math] можно выбрать сколь угодно большим. По теореме Ван-дер-Вардена ... Теперь попробуйте продолжить сами |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: student3 |
||
student3 |
|
|
swan писал(а): Это странно, потому что вы же цитировали доказательство. Давайте я вам его напомню. Пусть множества [math]A[/math] и [math]B[/math] не содержат арифметических прогрессий длины большей или равной [math]n[/math]. А множество [math]A\cup B[/math] содержит прогрессию [math]x_1, x_2, \dots, x_N[/math], где [math]N[/math] можно выбрать сколь угодно большим. По теореме Ван-дер-Вардена ... Теперь попробуйте продолжить сами Условно составим биекцию этой прогрессии и прогрессии натуральных чисел (меньшее с меньшим) (для простоты понимания), раз для натуральных чисел у нас найдется [math]N[/math], то и тут найдется [math]N[/math] также для всякого [math]k>n[/math], тогда эту [math]N[/math] можно будет поделить так, чтобы одно из подмножеств содержало только элементы [math]A[/math], в которых, получается будет прогрессия длинной [math]k[/math], противоречие. Мда.. все так просто было, а я через какую-то нецикличность пытался решать... а она здесь по сути-то и не нужна. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 12 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |