Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Топология и арифметические прогрессии
СообщениеДобавлено: 04 июн 2016, 12:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2016, 11:15
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, начал читать Элементарную топологию (Виро, Нецветаев и другие), и поначалу все шло гладко, но наткнулся на одну задачку и мне никак не понятно решение:
Сама задача:
Цитата:
Рассмотрим следующее свойство подмножества [math]F[/math] множества натуральных чисел [math]\mathbb{N}[/math]: Существует такое [math]N\in\mathbb{N}[/math], что [math]F[/math] не содержит арифметической прогрессии длинной больше [math]N[/math]. Докажите, что набор состоящий из таких множеств и всего множества [math]\mathbb{N}[/math], образует совокупность замкнутых множеств некоторой топологии в [math]\mathbb{N}[/math].

При этом дана указка воспользоваться обобщенной теоремой Ван дер Вардена:
Цитата:
Для всякого [math]n\in\mathbb{N}[/math] существует такое[math]N\in\mathbb{N}[/math], что если множество [math]\{1,2,...,N\}[/math] разбить на два подмножества, то в одном из них обязательно найдется арифметическая прогрессия длиной [math]n[/math].

Мы знаем 3 аксиомы для задания топологии через замкнутые множества:
Цитата:
Если совокупность [math]G[/math] подмножеств множества [math]X[/math] удовлетворяет условиям:
1) Пересечение любого набора множеств, принадлежащих [math]G[/math], принадлежит [math]G[/math]
2) Объединение любого конечного набора множеств, принадлежащих [math]G[/math], принадлежит [math]G[/math]
3) Пустое множество и само [math]X[/math] принадлежат [math]G[/math]
То [math]G[/math] есть совокупность всех замкнутых множеств некоторого топологического пространства.

Ну а теперь перейдем к решению:
То что наше [math]F[/math] отвечает первому 1 и 3 пункту очевидно, а вот с объединением какой-то бред. Ну вот положим множества [math]\{1,2,3\}[/math] и [math]\{4,5,6\}[/math], они оба не содержат арифметической прогрессии длиной больше 3, а их объединение, очевидно, имеет прогрессию длиной 6, стало быть, оно не подмножество [math]F[/math], у которого нет прогрессии длиннее 3. На этом я и запоролся. Видимо, я не понимаю какой-то очевидной истины, или пытаюсь доказать не то, что просят.
А вот решение приводимое в самом учебнике:
Цитата:
Для проверки условия 2 воспользуемся теоремой Ван дер Вардена. Пусть множества [math]A[/math] и [math]B[/math] не содержат арифметических прогрессий длины большей или равной [math]n[/math]. Если бы в множестве [math]A\cup B[/math] содержалась бы достаточно длинная прогрессия, то в одном из исходных множеств нашлась бы прогрессия длины [math]n[/math].

Я не понимаю, где здесь аналогия с теоремой, у нас же [math]A\cup B[/math] это не то самое заветное [math]N[/math], которое как ни разбей оно будет содержать прогрессию длиной n, это просто объединений фактически произвольных множеств.
Где у меня тараканы? Почему мой контрпример неверен? (хотя это по сути тот же вопрос)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Топология и арифметические прогрессии
СообщениеДобавлено: 04 июн 2016, 12:21 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5059
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
1084 раз в 986 сообщениях
Очков репутации: 228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Постарайтесь понять, почему любое конечное множество будет замкнутым в этой топологии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Топология и арифметические прогрессии
СообщениеДобавлено: 04 июн 2016, 13:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2016, 11:15
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Постарайтесь понять, почему любое конечное множество будет замкнутым в этой топологии.

Хм, любые множества с ариф. прогрессией длиннее [math]N[/math] по определению не могут быть замкнуты в этой топологии, ведь она состоит из дополнений к подмножествам[math]F[/math] которые
Цитата:
не содержит арифметической прогрессии длинной больше [math]N[/math]

И их дополнение, очевидно, не подходит под описание.
Тобишь, например, [math]\{ 1,2,...,N,N+1 \}[/math] не замкнуто.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Топология и арифметические прогрессии
СообщениеДобавлено: 04 июн 2016, 13:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5059
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
1084 раз в 986 сообщениях
Очков репутации: 228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Оно замкнуто, поскольку не содержит арифметической прогрессии длиной N+2
Внимательно читайте определение подмножества F.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
student3
 Заголовок сообщения: Re: Топология и арифметические прогрессии
СообщениеДобавлено: 04 июн 2016, 13:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2016, 11:15
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Оно замкнуто, поскольку не содержит арифметической прогрессии длиной N+2
Внимательно читайте определение подмножества F.

Ясно, значит я неправильно понял условие. [math]N[/math] должно просто существовать (и его существование очевидно для конечных множеств), но это самое [math]N[/math] не закреплено для всех [math]F[/math], то есть [math]F[/math] - это просто множество с небесконечными ариф. прогрессиями. Тогда для объединения конечных множеств все просто, там ариф. прогрессия не длиннее суммы длин максимальных ариф. прогрессий, для бесконечных множеств: если при объединения получается бесконечная ариф. прогрессия, то так как [math]\mathbb{N}[/math] ограничено снизу, выходит, что одно из них сразу содержало бесконечную ариф. прогрессию и получаем противоречие. Большое спасибо за помощь. Но где тут задействована теорема Ван дер Вардена?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Топология и арифметические прогрессии
СообщениеДобавлено: 04 июн 2016, 14:10 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5059
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
1084 раз в 986 сообщениях
Очков репутации: 228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
student3 писал(а):
то есть [math]F[/math] - это просто множество с небесконечными ариф. прогрессиями.

Это очень криво сформулировано. Я думаю, что вы хотели сказать, что [math]F[/math] - это множество, не содержащее арифметическую прогрессию бесконечной длины.

Это не так. Можно привести пример, когда у множества не будет бесконечной арифметической прогрессии (все прогрессии конечной длины), но тем не менее в [math]F[/math] оно входить не будет. Постарайтесь понять разницу и придумать такой пример самостоятельно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Топология и арифметические прогрессии
СообщениеДобавлено: 04 июн 2016, 14:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5059
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
1084 раз в 986 сообщениях
Очков репутации: 228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
student3 писал(а):
если при объединения получается бесконечная ариф. прогрессия, то так как [math]\mathbb{N}[/math] ограничено снизу, выходит, что одно из них сразу содержало бесконечную ариф. прогрессию и получаем противоречие.

И это спорное заявление. Да что там спорное - оно явно ошибочно.
Можно разделить [math]\mathbb{N}[/math] на 2 подмножества без бесконечных прогрессий. Естественно, эти подмножества не будут входить в [math]F[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Топология и арифметические прогрессии
СообщениеДобавлено: 04 июн 2016, 16:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2016, 11:15
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Это очень криво сформулировано. Я думаю, что вы хотели сказать, что [math]F[/math] - это множество, не содержащее арифметическую прогрессию бесконечной длины.

Это не так. Можно привести пример, когда у множества не будет бесконечной арифметической прогрессии (все прогрессии конечной длины), но тем не менее в [math]F[/math] оно входить не будет. Постарайтесь понять разницу и придумать такой пример самостоятельно.

Так, до меня дошло, мы можем например взять множество с прогрессиями длиной 1,2,3... в нем они все небесконечны, но самой большой нету, тобишь и [math]N[/math] не существует.
swan писал(а):
И это спорное заявление. Да что там спорное - оно явно ошибочно.
Можно разделить N на 2 подмножества без бесконечных прогрессий. Естественно, эти подмножества не будут входить в F.

Тут, да, маху дал :(

Учитывая все это, в случае объединения бесконечных м-в получаем, что если после слияния м-в их элементы начнут дополнять друг друга, как члены одной прогрессии, то они должны сменятся нециклично, тобишь так, чтобы не получилось беск. прогрессий в изначальных. Простейший пример: ABBAAABBBBAAAAA[...], где буквой обозначено множество, которому принадлежит элемент, тут связать в прогрессию элементы одной группы вида [math]A[/math] с другими группой того же вида не получится, ибо в один прекрасный момент шаг упрется в [math]B[/math]. Очевидно, что если такое хаотичное распределение возможно, значит задача некорректна. Тогда доказываем его невозможность:
И тут, я так понимаю, должна получиться незавязочка в том, для нецикличных распределений нам нужно, чтобы изначальные множества не имели самой большой прогрессии (как в моем примере распределения) (то есть они сразу не принадлежат [math]F[/math]), а иначе хаотичность устроить не получится и найдется такой шаг, который создаст бесконечную прогрессию в изначальном множестве. Но доказать это у меня не получилось, и уж тем более впихнуть сюда теорему Ван дер Вардена. Несмотря на то, что с условием я, видимо, окончательно разобрался, в самой задаче тупик.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Топология и арифметические прогрессии
СообщениеДобавлено: 04 июн 2016, 17:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5059
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
1084 раз в 986 сообщениях
Очков репутации: 228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
student3 писал(а):
Но доказать это у меня не получилось, и уж тем более впихнуть сюда теорему Ван дер Вардена.

Это странно, потому что вы же цитировали доказательство.
Давайте я вам его напомню.

Пусть множества [math]A[/math] и [math]B[/math] не содержат арифметических прогрессий длины большей или равной [math]n[/math]. А множество [math]A\cup B[/math] содержит прогрессию [math]x_1, x_2, \dots, x_N[/math], где [math]N[/math] можно выбрать сколь угодно большим. По теореме Ван-дер-Вардена ...

Теперь попробуйте продолжить сами

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
student3
 Заголовок сообщения: Re: Топология и арифметические прогрессии
СообщениеДобавлено: 04 июн 2016, 20:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2016, 11:15
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Это странно, потому что вы же цитировали доказательство.
Давайте я вам его напомню.

Пусть множества [math]A[/math] и [math]B[/math] не содержат арифметических прогрессий длины большей или равной [math]n[/math]. А множество [math]A\cup B[/math] содержит прогрессию [math]x_1, x_2, \dots, x_N[/math], где [math]N[/math] можно выбрать сколь угодно большим. По теореме Ван-дер-Вардена ...

Теперь попробуйте продолжить сами

Условно составим биекцию этой прогрессии и прогрессии натуральных чисел (меньшее с меньшим) (для простоты понимания), раз для натуральных чисел у нас найдется [math]N[/math], то и тут найдется [math]N[/math] также для всякого [math]k>n[/math], тогда эту [math]N[/math] можно будет поделить так, чтобы одно из подмножеств содержало только элементы [math]A[/math], в которых, получается будет прогрессия длинной [math]k[/math], противоречие.
Мда.. все так просто было, а я через какую-то нецикличность пытался решать... а она здесь по сути-то и не нужна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачи на арифметические и геометрические прогрессии

в форуме Алгебра

Diamanta

3

1271

14 апр 2010, 19:35

Арифметические действия

в форуме Теория чисел

Avrora

10

461

15 апр 2018, 21:28

Арифметические корни

в форуме Алгебра

VladGreen

3

168

20 дек 2017, 19:24

Топология

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

melika

2

264

20 окт 2017, 10:45

Арифметические функции, задачи

в форуме Теория чисел

ZimOne777

2

360

13 дек 2014, 02:30

Арифметические операции по модулю

в форуме Теория чисел

dccoder

11

2206

22 май 2011, 17:08

Топология. Компактность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Pirat

2

429

14 мар 2013, 21:18

Топология на множестве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Bonnie_Blue

2

307

18 дек 2011, 10:13

Топология. Компактность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

anton2807

1

320

13 мар 2013, 15:28

Арифметические свойства непрерывных функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

koraven

2

994

07 апр 2011, 18:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved