Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
anderlo |
|
|
Моя версия такая:Пусть выполняется выражение в левой части. Рассмотрим объединение множеств A и B( [math]A \cup B[/math]), тогда по определению объединения [math]x\in A[/math] или [math]x\in B[/math]. Пусть [math]x\in A \Rightarrow x \in C[/math]. Пусть теперь [math]x\in B[/math] и, следовательно [math]x\in C[/math], таким образом для каждого [math]x\in A \cup B \Rightarrow x\in C[/math]. Является ли это доказательство верным. И можно ли доказать это более строго используя? |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
anderlo писал(а): Друзья, помогите проверить соотношение [math](A\supset C)\wedge (B\supset C) \Leftrightarrow ((A\cup B)\supset C)[/math] . Дайте, пожалуйста, определения [math]A\supset B[/math], [math]A\wedge B[/math] и [math]A\Leftrightarrow B[/math], где [math]A[/math] и [math]B[/math] -- это множества. |
||
Вернуться к началу | ||
anderlo |
|
|
Дело в том, что я не встречал определения эквивалентности.
К примеру для [math](A\supset C)[/math] определением является: {[math]x|x \in A \to x \in C[/math] } Как же тогда определяется отношение [math](A \Leftrightarrow C)[/math]? Можете дать ссылку на доказательство, содержащее импликативные операции, чтобы какую-то основу иметь. Перерыл весь инет, нахожу только доказательства тождеств [math]A = B[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Складывается впечатление, что вы путаете утверждения (высказывания) и множества. Между ними действительно есть тесная связь, но сначала нужно понимать точные определения и различия между этими понятиями.
Импликация [math]\supset[/math] (или [math]\to[/math]), конъюнкция [math]\wedge[/math] и эквивалентность [math]\Leftrightarrow[/math] -- это операции на утверждениях. С другой стороны, пересечение [math]\cap[/math] и объединение [math]\cup[/math] -- это операции на множествах. Равенство [math]=[/math] -- это операция, которая принимает два множества и возвращает утверждение. При составлении выражений, состоящих из множеств и операций над ними, а также при составлении утверждений важно учитывать тип каждого подвыражения: множество это или утверждение. Иногда на множествах рассматривается импликация, как вы ее определили, но это случается реже. Поэтому ваша задача, где [math]\land[/math] и [math]\Leftrightarrow[/math] применяется к множествам, не является хорошо определенной. Поэтому я и спрашивал про используемые вами определения. |
||
Вернуться к началу | ||
anderlo |
|
|
Вы правы в том, что у меня возникает некоторая путаница между алгеброй теории множеств и алгеброй высказываний.
Меня просто ставит в тупик смешение двух алгебр в одном соотношении. А в книге Зорича "Мат. анализ 1-й том " эти упражнения так и даются: Пожалуйста покажите как нужно подходить к доказательству, когда утверждение дается в таком вот смешанном виде |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
В задачах Зорича нет никакого смешения множеств и утверждений, а [math]\subset[/math] означает не импликацию, а отношение "быть подмножеством" (видимо, нестрогим).
|
||
Вернуться к началу | ||
anderlo |
|
|
а как же знаки коньюнкции и эквивалентности?
|
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Что именно вас смущает в конъюнкции и эквивалентности? Отношение [math]\subset[/math] берет два множества и превращает их в утверждение. Затем эти элементарные (или атомарные) утверждения комбинируются в более сложные с помощью логических связок, таких как конъюнкция и эквивалентность.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали: anderlo |
||
anderlo |
|
|
Спасибо, теперь начинаю понимать, т.е. я должен проверить истинность двух высказываний стоящих по обе стороны знака эквивалентности. Проблема в том, что я не могу распространить принадлежность x выражению слева. Меня терзают смутные сомнения, что здесь нужно использовать x для множества A и y для множества B. Что вы думаете по этому поводу?
|
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Рассмотрим утверждение [math](A\subset C)\land (B\subset C)\iff (A\cup B)\subset C[/math]. Докажем направление [math]\implies[/math]. Пусть [math]A\subset C[/math] и [math]B\subset C[/math]. Нужно доказать [math](A\cup B)\subset C[/math]. Пусть [math]x\in(A\cup B)[/math]. По определению объединения [math]x\in A[/math] или [math]x\in B[/math]. В первом случае [math]x\in C[/math], так как по предположению [math]A\subset C[/math], что по определению означает, что [math]y\in A[/math] влечет [math]y\in C[/math] для всех [math]y[/math]. Во втором случае также [math]x\in C[/math] из-за предположения [math]B\subset C[/math]. Значит, в обоих случаях [math]x\in C[/math], что и требовалось доказать.
Попробуйте доказать обратную импликацию. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Дискретная математика, Теория множеств и Логика | 0 |
260 |
31 май 2015, 12:25 |
|
Вопрос по теории множеств | 3 |
431 |
29 июн 2014, 13:08 |
|
Обобщение теории множеств
в форуме Размышления по поводу и без |
12 |
1310 |
17 сен 2017, 03:38 |
|
Элементы теории множеств. | 21 |
800 |
13 янв 2017, 15:10 |
|
Аксиомы теории множеств
в форуме Размышления по поводу и без |
1 |
334 |
14 фев 2018, 13:40 |
|
Основы теории множеств | 2 |
389 |
13 дек 2015, 03:55 |
|
Доказательство утверждения из теории множеств | 7 |
312 |
24 сен 2018, 17:15 |
|
Вопросы по нотации теории множеств | 0 |
193 |
26 апр 2023, 23:14 |
|
Элементы теории множеств. Задача | 2 |
337 |
22 май 2018, 21:16 |
|
Решения задач по теории множеств | 13 |
1966 |
18 апр 2014, 19:04 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |