Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Логика в теории множеств
СообщениеДобавлено: 10 мар 2016, 10:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 мар 2016, 10:03
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Друзья, помогите проверить соотношение [math](A\supset C)\wedge (B\supset C) \Leftrightarrow ((A\cup B)\supset C)[/math] . В частности не пойму как, работать с импликативными суждениями с позиций теории множеств.

Моя версия такая:Пусть выполняется выражение в левой части. Рассмотрим объединение множеств A и B( [math]A \cup B[/math]), тогда по определению объединения [math]x\in A[/math] или [math]x\in B[/math]. Пусть [math]x\in A \Rightarrow x \in C[/math]. Пусть теперь [math]x\in B[/math] и, следовательно [math]x\in C[/math], таким образом для каждого [math]x\in A \cup B \Rightarrow x\in C[/math].
Является ли это доказательство верным. И можно ли доказать это более строго используя?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логика в теории множеств
СообщениеДобавлено: 10 мар 2016, 12:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anderlo писал(а):
Друзья, помогите проверить соотношение [math](A\supset C)\wedge (B\supset C) \Leftrightarrow ((A\cup B)\supset C)[/math] .
Дайте, пожалуйста, определения [math]A\supset B[/math], [math]A\wedge B[/math] и [math]A\Leftrightarrow B[/math], где [math]A[/math] и [math]B[/math] -- это множества.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логика в теории множеств
СообщениеДобавлено: 10 мар 2016, 13:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 мар 2016, 10:03
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дело в том, что я не встречал определения эквивалентности.
К примеру для [math](A\supset C)[/math] определением является: {[math]x|x \in A \to x \in C[/math] }
Как же тогда определяется отношение [math](A \Leftrightarrow C)[/math]?
Можете дать ссылку на доказательство, содержащее импликативные операции, чтобы какую-то основу иметь. Перерыл весь инет, нахожу только доказательства тождеств [math]A = B[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логика в теории множеств
СообщениеДобавлено: 10 мар 2016, 13:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Складывается впечатление, что вы путаете утверждения (высказывания) и множества. Между ними действительно есть тесная связь, но сначала нужно понимать точные определения и различия между этими понятиями.

Импликация [math]\supset[/math] (или [math]\to[/math]), конъюнкция [math]\wedge[/math] и эквивалентность [math]\Leftrightarrow[/math] -- это операции на утверждениях. С другой стороны, пересечение [math]\cap[/math] и объединение [math]\cup[/math] -- это операции на множествах. Равенство [math]=[/math] -- это операция, которая принимает два множества и возвращает утверждение. При составлении выражений, состоящих из множеств и операций над ними, а также при составлении утверждений важно учитывать тип каждого подвыражения: множество это или утверждение.

Иногда на множествах рассматривается импликация, как вы ее определили, но это случается реже. Поэтому ваша задача, где [math]\land[/math] и [math]\Leftrightarrow[/math] применяется к множествам, не является хорошо определенной. Поэтому я и спрашивал про используемые вами определения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логика в теории множеств
СообщениеДобавлено: 10 мар 2016, 14:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 мар 2016, 10:03
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы правы в том, что у меня возникает некоторая путаница между алгеброй теории множеств и алгеброй высказываний.
Меня просто ставит в тупик смешение двух алгебр в одном соотношении. А в книге Зорича "Мат. анализ 1-й том " эти упражнения так и даются:Изображение
Пожалуйста покажите как нужно подходить к доказательству, когда утверждение дается в таком вот смешанном виде

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логика в теории множеств
СообщениеДобавлено: 10 мар 2016, 22:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В задачах Зорича нет никакого смешения множеств и утверждений, а [math]\subset[/math] означает не импликацию, а отношение "быть подмножеством" (видимо, нестрогим).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логика в теории множеств
СообщениеДобавлено: 10 мар 2016, 23:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 мар 2016, 10:03
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а как же знаки коньюнкции и эквивалентности?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логика в теории множеств
СообщениеДобавлено: 10 мар 2016, 23:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что именно вас смущает в конъюнкции и эквивалентности? Отношение [math]\subset[/math] берет два множества и превращает их в утверждение. Затем эти элементарные (или атомарные) утверждения комбинируются в более сложные с помощью логических связок, таких как конъюнкция и эквивалентность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
anderlo
 Заголовок сообщения: Re: Логика в теории множеств
СообщениеДобавлено: 11 мар 2016, 01:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 мар 2016, 10:03
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, теперь начинаю понимать, т.е. я должен проверить истинность двух высказываний стоящих по обе стороны знака эквивалентности. Проблема в том, что я не могу распространить принадлежность x выражению слева. Меня терзают смутные сомнения, что здесь нужно использовать x для множества A и y для множества B. Что вы думаете по этому поводу?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Логика в теории множеств
СообщениеДобавлено: 12 мар 2016, 00:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрим утверждение [math](A\subset C)\land (B\subset C)\iff (A\cup B)\subset C[/math]. Докажем направление [math]\implies[/math]. Пусть [math]A\subset C[/math] и [math]B\subset C[/math]. Нужно доказать [math](A\cup B)\subset C[/math]. Пусть [math]x\in(A\cup B)[/math]. По определению объединения [math]x\in A[/math] или [math]x\in B[/math]. В первом случае [math]x\in C[/math], так как по предположению [math]A\subset C[/math], что по определению означает, что [math]y\in A[/math] влечет [math]y\in C[/math] для всех [math]y[/math]. Во втором случае также [math]x\in C[/math] из-за предположения [math]B\subset C[/math]. Значит, в обоих случаях [math]x\in C[/math], что и требовалось доказать.

Попробуйте доказать обратную импликацию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дискретная математика, Теория множеств и Логика

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Marhello

0

260

31 май 2015, 12:25

Вопрос по теории множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Bonaqua

3

431

29 июн 2014, 13:08

Обобщение теории множеств

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

12

1310

17 сен 2017, 03:38

Элементы теории множеств.

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

bishik

21

800

13 янв 2017, 15:10

Аксиомы теории множеств

в форуме Размышления по поводу и без

Slon

1

334

14 фев 2018, 13:40

Основы теории множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Adel2015

2

389

13 дек 2015, 03:55

Доказательство утверждения из теории множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Vansoul

7

312

24 сен 2018, 17:15

Вопросы по нотации теории множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ivashenko

0

193

26 апр 2023, 23:14

Элементы теории множеств. Задача

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

seagull72

2

337

22 май 2018, 21:16

Решения задач по теории множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

HAIRY

13

1966

18 апр 2014, 19:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved