Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Больше ">" — это функция-бинарный предикат?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=62&t=46579
Страница 1 из 1

Автор:  Mypowerfulbrain [ 14 янв 2016, 16:18 ]
Заголовок сообщения:  Больше ">" — это функция-бинарный предикат?

Но почему многие считают больше > только как бинарное отношение, а не как предикат?
Запись 2>1 то же самое, что и (2,1) ∈ >
В такой записи 2>1 выходит, что > — не функция. Ведь аргумент функции принимает только одно значение!
Если больше > — не функция, то 2>1 или в польской нотации >(2, 1), не может иметь значение ИСТИНА или ЛОЖЬ, так как мы вообще не имеем значений для (2,1).
>(2) = 1
>(2) = 0
...
То есть это не функция вообще! Это даже не многозначная функция, так как многозначная функция имеет другую структуру.
То есть запись 2>1 это просто запись и ничего больше. В такой интерпретации это не функция, не предикат, а значит мы не можем говорить, что 2>1 = ИСТИНА или 2>1 = 1.

Но можно рассматривать > как функцию, которая еще и является предикатом.
A = B = R. R — множество вещественных чисел.
Bul = {0, 1} --{можно было бы вместо 0 и 1 использовать ИСТИНА и ЛОЖЬ}
Символ "x" использую в качестве обозначения прямого (декартова) произведения.
Бинарный предикат (назовем его БП) определен на множестве
M = A x B
БП ⊂ M x Bul, такое, что (m, bul) ∈ M x Bul, что для любого элемента m ∈ M существует единственный элемент bul ∈ Bul, что (m, Bul) ∈ БП.

Для примера:
A = {1, 2}
B = {1, 2}
Bul = {0, 1}
M = A x B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2,2)}
M x Bul = {((1, 1), 0), ((1, 1), 1), ((1, 2), 0), ((1, 2), 1), ((2, 1), 0), ((2, 1), 1), ((2, 2), 0), ((2, 2), 1)}
БП ⊂ M x Bul = {((1, 1), 0), ((1, 2), 0), ((2, 1), 1), ((2, 2), 0)}
БП (1, 2) = 0
БП (2, 1) = 1

Автор:  3D Homer [ 14 янв 2016, 20:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Больше ">" — это функция-бинарный предикат?

Первая часть вашего сообщения мне не совсем понятна. Во второй части вы все написали верно.

Между функциями в {0, 1} от двух аргументов и бинарными отношениями (как подмножествами декартова произведения) есть взаимно-однозначное соответствие, поэтому и те, и другие часто считаются и отношениями, и предикатами.

Автор:  Mypowerfulbrain [ 15 янв 2016, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Больше ">" — это функция-бинарный предикат?

3D Homer писал(а):
Первая часть вашего сообщения мне не совсем понятна. Во второй части вы все написали верно.

Между функциями в {0, 1} от двух аргументов и бинарными отношениями (как подмножествами декартова произведения) есть взаимно-однозначное соответствие, поэтому и те, и другие часто считаются и отношениями, и предикатами.

Да, но отношение не одно и то же, что и предикат.
Множество_предикатов ⊂ Множество_функций ⊂ Множество_отношений

Автор:  3D Homer [ 15 янв 2016, 20:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Больше ">" — это функция-бинарный предикат?

Mypowerfulbrain писал(а):
Да, но отношение не одно и то же, что и предикат.
Судя по книге Ершов, Палютин "Математическая логика", §10, предикат и отношение -- это одно и то же. Там они определяются как подмножества декартова произведения. В книге Верещагин, Шень "Лекции по математической логике и теории алгоритмов", часть 2 "Языки и исчисления", §3.1, предикат -- это отображение из декартова произведения в {И, Л}. Там сразу же говорится, что есть взаимно-однозначное отображение между k-местными предикатами на множестве M и подмножествами M^k, а такие подмножества обычно называются k-местными отношениями. Поэтому можно выбрать любое из определений предиката или отношения: как подмножество M^k или как характеристическую функцию такого подмножества. После этого конкретные особенности такого определения и разница между предикатами и отношениями теряют важность. Почему эта разница интересует вас?

Автор:  Mypowerfulbrain [ 16 янв 2016, 15:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Больше ">" — это функция-бинарный предикат?

3D Homer писал(а):
Почему эта разница интересует вас?

Может потому, что Я хочу понять эти структуры, чтобы правильно ими пользоваться?
Отношения не соответствуют предикатам даже между элементами булевых множеств, так как для этого отношение должно быть еще и функцией, но отношение может не быть функцией, а предикат — это всегда функция, причем функция, значения которой лежит во множестве {0, 1}
Ощутите разницу:
A = {0, 1, 2, 3, 4}
B = {0, 1, 7, 9, 12, {1, 2, 3}}
Отношение = {(2, 9), (2, {1, 2, 3}), (3, 9)} — это отношение
Можно написать 2 Отношение {1, 2, 3} или (2, {1, 2, 3}) ∈ Отношение

Функция = {(3, 0), (0, {1, 2, 3}), (4, 1), (2, 12)} — это функция
Функция (3) = 0
Функция (0) = {1, 2, 3}
Функция (4) = 1
Функция (2) = 12

Предикат = {(2, 1), (0, 0), (4, 1), (3, 0)} — это предикат

Разница же очевидна?
Отношение — это любое подмножество декартовых произведений множеств.
Функцией это тоже отношение. Функцией f называется такое множество упорядоченных пар (x, y) ∈ X x Y, что для любого элемента x ∈ X существует единственный элемент y ∈ Y такой, что (x, y) ∈ f
Предикат это тоже отношение и тоже функция, но только с множеством значений {0, 1}
Предикат это всегда функция и отношение, но не наоборот!
Функция это всегда отношение, но не наоборот!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/