Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: О доказательстве счетности множества рациональных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2014, 13:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2014, 14:04
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
О допущениях, лежащих в основании доказательства счетности множества рациональных чисел

Рассмотрим положительный участок числовой прямой.
На любом сколько угодно большом конечном интервале расположено конечное число натуральных чисел.
На любом сколько угодно малом конечном интервале расположено бесконечно много рациональных чисел.
Следовательно, на любом конечном интервале о равномощности натуральных и рациональных чисел не может быть и речи.
Тем не менее считается хрестоматийным фактом, что множества натуральных и рациональных чисел, рассматриваемые как бесконечные, равномощны (в частности счетны).

Доказательство существования функции (построена Кантором), взаимно - однозначно отображающей множество натуральных чисел на множество чисел рациональных, состоит в том, что множество рациональных чисел представляется таблицей с бесконечным (счетным) количеством строк и столбцов, и пересчет рациональных чисел предлагается производить по диагоналям по правилу «вверх направо» и соответственно «вниз налево».

Заметим, что если оставаться в рамках заданного, например, парадоксом «Ахиллеса и черепахи» алгоритма, заключающегося в том, чтобы добавлять к пути все более и более мелкие отрезки, то придется признать, что Ахиллес никогда не перегонит черепаху. И чтобы уйти от этого парадокса, необходимо выйти за рамки данного алгоритма.
От него и уходят, потому что знают – Ахиллес обгонит черепаху: это наш опыт дает нам возможность ясно видеть его итог - несостоятельность.

Кантор предлагает с запасом натуральных чисел (бесконечным, конечно) двигаться по диагоналям таблицы чисел рациональных, и хотя диагонали эти все возрастают, правомочность такого движения обосновывается по существу простым указанием пальца на левый верхний угол построенной соответствующим образом таблицы с нарисованными на нем стрелками, и это признается доказательством равномощности множеств чисел натуральных и рациональных. Алгоритм (движение по диагоналям) –– указан, и с ним не спорят, во-первых в силу его удивительной наглядности, во-вторых потому, что наш конечный опыт не дает нам возможности, как в случае с черепахой, непосредственно идентифицировать его итог - состоятельность или несостоятельность.

Не смущает довольно экстравагантный прием: этот алгоритм, выражаясь фигурально, предлагает «прочесывать» взад-вперед множество рациональных чисел на постоянно (периодически) увеличивающемся интервале. И если бы просто прочесывать, так ведь в этой таблице все числа, расположенные выше главной диагонали, меньше единицы, а расположенные ниже главной диагонали – больше единицы, так что участок от нуля до единицы прочесывается столько же раз, сколько и участок от единицы до бесконечности.

Не настораживает, что алгоритм этот совершенно не соответствует требованию взаимно-однозначности, поскольку в таблице каждое число повторяется бесконечное количество раз. Казалось бы, уже этого факта
достаточно для того, чтобы признать подобное доказательство некорректным, однако считается скорее наоборот: если в таблице чисел «больше», чем рациональных чисел, то доказательство Кантора заведомо верно, а повторяющиеся числа советуется при пересчете пропускать(!).

Молчаливо допускается возможность, совершая по таблице конечные шаги, приблизиться к бесконечности.

Все это оправдывается только утверждением, что в бесконечном возможно невозможное в конечном, с чем спорить трудно.


Проведем более подробное сопоставление:

Изображение

Приведенное сопоставление обнаруживает общие черты в структурах парадокса Ахиллеса и доказательства Кантора, и возникает вопрос, не воспроизвел ли Кантор этот самый очень древний парадокс применительно к числам?

Вопрос этот лежит, вероятно, не в области математики и не в области математической логики.
Скорее всего – в неявно принятых либо отвергнутых допущениях.

Напомним: при сравнении множеств, кроме «взаимно-однозначности», формально никаких ограничений или требований явно не накладывается ни на функцию, ни на сравниваемые множества. Посмотрим, так ли это на деле.

При отображении одного на другое конечных множеств требования взаимно- однозначности к отображающей функции на первый взгляд достаточно, так как каждое из множеств можно сопоставить с множеством натуральных чисел (пересчитать) и сравнить между собой полученные натуральные числа.

Способ сравнения конечных множеств путем не исчисления их отдельно, а путем отнимания (изъятия) из каждого множества одновременно и последовательно по одному элементу до тех пор, пока одно из множеств или оба множества не закончатся, по существу не отличается от первого способа, так как во втором способе фактически одновременно считаются оба множества, и то обстоятельство, что каждому событию изъятия по одному элементу из каждого множества не присваивается некоторое натуральное число, является несущественным, так как ничто не мешает эти натуральные числа последовательно изымаемым парам присвоить.

Отсюда следует, в частности, что проводить различие между двумя приведенными способами сравнения конечных множеств, как это обычно делается, представляется некорректным.


Подчеркнем: в сравниваемых конечных множествах мы имеем дело с натуральными числами (ограничимся ими), имеющими одинаковое отношение порядка (структуру больше-меньше-равно) независимо от величины интервала, на котором эти числа рассматриваются. Тем самым, неявным образом, по самому свойству натуральных чисел, когда они используются для счета, у функции, кроме свойства взаимно-однозначности, имеет место и свойство сохранения отношения порядка.
Можно сказать, что в конечных множествах отношение порядка предполагает возможность счета, и обратно – сама процедура счета задает отношение порядка, так что оба эти понятия не существуют отдельно друг от друга.

При взаимно-однозначном отображении одного на другое счетных бесконечных множеств, например множества натуральных чисел на множество чисел четных, которое выполняется элементарной аналитической функцией, также имеет место сохранение отношения порядка, хотя и здесь это явно не декларируется.

Аналогичная картина наблюдается при взаимно-однозначном отображении одного на другое и несчетных множеств, например одного интервала действительных чисел на другой, отличающийся от первого. Это отображение выполняется достаточно простой аналитической функцией, которая тоже имеет свойство сохранять заданное отношение порядка, и тот факт, что отношения порядка в данном случае не задаются, не имеет принципиального значения. Принципиальное значение имеет лишь тот факт, что функция, выполняющая отображение, имеет свойство не нарушать отношения порядка.

В приведенных примерах – от конечного множества до несчетного – отображение, устанавливающее равномощность, не нарушает отношения порядка.

Поставим вопрос: правомерно ли для установления равномощности множеств ограничиться лишь одним требованием к устанавливающей равномощность функции – ее взаимно-однозначности – а сохранением отношением порядка пренебречь? Не будет ли такое абстрагирование чрезмерным?

Согласимся, что в общем философском плане для количественного сравнения сравниваемые объекты должны иметь одинаковую качественную природу (для множеств, стало быть, структуру). В противном случае неизбежно придется столкнуться с необходимостью дать ответ на вопрос типа – что больше, один килограмм или один метр, при этом без права объявить вопрос не имеющим смысла.

Обратим внимание: в доказательстве Кантора одно из сравниваемых множеств – множество натуральных чисел – имеет отношение порядка и рассматривается как упорядоченное, что явно не декларируется, но что задается самим фактом пересчета, а другое множество – множество рациональных чисел в таблице – данного на множестве натуральных чисел отношения порядка не только не имеет, но и меняют его напротивоположный при переходе от одной диагонали к другой.
Следовательно, функция Кантора, отображающая множество натуральных чисел на множество чисел рациональных, несет, кроме количественного, и качественный аспект: она не переносит на множество рациональных чисел структуру отношение порядка чисел натуральных, фактически производит подмену: вместо множества рациональных чисел с тем же отношением порядка, что и у множества натуральных чисел, функция Кантора дает нам множество рациональных чисел совсем с другой структурой – качественно иное множество.

Представляется естественным, в свете сказанного выше, потребовать также и от функции, осуществляющей отображение множества натуральных чисел на множество чисел рациональных, обеспечить не только взаимно- однозначность, но и сохранение существующего на множестве натуральных чисел отношения порядка, и без этого условия, не соблюденного в доказательстве Кантора, считать его строго логически выверенным затруднительно.

Посмотрим на этот вопрос с другой стороны.
Обратим внимание: после того как таблица рациональных чисел построена, свойство элементов таблицы быть рациональными числами в доказательстве не используется.
Следовательно, ее можно заменить эквивалентной таблицей, в которой рациональные числа заменены произвольными элементами, при этом каждому элементу присвоен двухзначный индекс, первое число которого равно числителю, а второе число соответственно знаменателю того рационального числа, которое данный элемент заменяет. В итоге получается стандартная матрица с бесконечным числом строк и столбцов.
Проделав аналогичную операцию с натуральными числами, можно констатировать:
теорема Кантора может быть разложена на два независимых между собой тезиса:

1. Строка (столбец) матрицы равномощна всей матрице в случае, когда строки и столбцы матрицы представляют собой бесконечные счетные последовательности, или, другими словами, счетное множество равномощно счетному семейству счетных множеств.

2.Плотное множество рациональных чисел может быть представлено в виде разреженного множества рациональных чисел, при этом таким образом, чтобы его можно было «вставить» в матрицу предыдущего пункта.
Технически «вставить» несложно: у каждого элемента индексы записывают не по порядку, а как частное от деления первого на второй. Далее остается сами элементы упразднить, а новые индексы оставить. И получается Канторовская таблица.
(Возможно, исторически так оно и было)

По п.1. можно заметить: если в матрице количество строк или столбцов конечно, то доказательство равномощности ее элементов с множеством натуральных чисел прозрачно и сомнений не вызывает. Но как только и строки, и столбцы бесконечны, так не обойтись без «диагонального метода»: возникает необходимость прыгать со строки на строку и со столбца на столбец. Иначе говоря, возникает прямая необходимость (а не случайность или частность) сломать отношение порядка, присущее множеству натуральных чисел.
Резюмируем: доказать счетность счетного семейства счетных множеств невозможно без нарушения соответствующим отображением отношения порядка множества натуральных чисел.

По п.2. можно заметить: сам факт построения таблицы, охватывающий все множество рациональных чисел, является попыткой трансформации множества плотного в множество разреженное – операция крайне сомнительная, чтобы не сказать недопустимая, поскольку изменяет множество качественно, а ведь именно она – эта операция - дает возможность начать разговор о счетности этого множества.

Поскольку множество натуральных чисел разрежено, а множество рациональных чисел плотно, построение функции, отображающей одно на другое и при этом сохраняющей отношение порядка, представляется затруднительным.

А подытожить данную статью, по-видимому, можно так:

1. Требование к отображающей множества функции сохранять отношения порядка признается необходимым, и тогда мы имеем согласующиеся с нашей интуицией факты, в частности:
* множество целых чисел не равномощно множеству чисел рациональных
* множество чисел на числовой прямой не равномощно множеству чисел в пространстве конечной и счетной размерности.

2. Отрицание этого требования дает возможность прийти к утверждениям прямо противоположным.


Нижний Новгород
Алатин Сергей Дмитриевич.
Кандидат технических наук,
старший научный сотрудник.
04.11.2014.


1.PS:

Воспроизведение структуры древнего великого парадокса Ахиллеса-черепахи в области чисел, похоже, все-таки имело место быть.

Думается, это имманентное свойство всякого корректно построенного конкретного отображения – ладить со структурой множеств.

Видимо, существует и разумный предел абстрагирования: совсем истреблять следы натуральных чисел – этого начала начал – следует очень аккуратно.

Потрясающая, просто шокирующая наглядность и простота левого верхнего угла таблицы Кантора с нарисованными на нем стрелками и были, на наш взгляд, теми причинами, которые затруднили тщательное рассмотрение его «диагонального» метода.

2.PS:

Согласимся: все действительные числа изготавливаются из чисел натуральных по определенным для каждого класса чисел – рациональные, алгебраические, трансцендентные – алгоритмам.
Согласимся также, что выбор этих алгоритмов (именно этих) никак не проистекает ни из природы действительных чисел, ни из природы натуральных чисел.
Согласимся еще раз: выбор этот оправдывается исключительно потребностями людей:
*рациональные числа (отношение, а не какое иное соотношение двух натуральных чисел) изготовлены для того, чтобы иметь возможность поделить единицу на равные части, в некотором смысле – чтобы на отрезке от нуля до единицы иметь возможность пользоваться натуральными числами.
*алгебраические – чтоб записать решение алгебраического уравнения.
*трансцендентные – чтобы установить соотношение между диаметром и окружностью а после – чтоб работать, например с тригонометрическими функциями.

Вывод промежуточный: «с точки зрения» самих чисел разбиение их на рациональные и иррациональные – это произвол людей, так как разбиение это суть следствие выбранного людьми инструментария.

Разный инструментарий дает и разные числа:
*рациональные числа представляются десятичной периодической дробью.
*иррациональные числа представляются десятичной непериодической дробью.

Попытка каждую периодическую дробь сделать непериодической путем любых манипуляций с ее цифрами на конечном интервале ни к чему не приводит, так как далее, справа от манипуляций, периодичность сохранится, и число не перестанет быть рациональным: чтобы сделать из рационального числа число иррациональное, необходима правка всего бесконечного ряда цифр.

То же самое можно сказать о непериодической дроби.

По-видимому, множества рациональных и иррациональных чисел равномощны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве счетности множества рациональных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2014, 14:17 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22360
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alatin писал(а):
Рассмотрим положительный участок числовой прямой.
На любом сколько угодно большом конечном интервале расположено конечное число натуральных чисел.
На любом сколько угодно малом конечном интервале расположено бесконечно много рациональных чисел.
Следовательно, на любом конечном интервале о равномощности натуральных и рациональных чисел не может быть и речи.
Тем не менее считается хрестоматийным фактом, что множества натуральных и рациональных чисел, рассматриваемые как бесконечные, равномощны (в частности счетны).

Alatin, определение равномощности множеств Вам известно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве счетности множества рациональных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2014, 14:17 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22360
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alatin писал(а):
Рассмотрим положительный участок числовой прямой.
На любом сколько угодно большом конечном интервале расположено конечное число натуральных чисел.
На любом сколько угодно малом конечном интервале расположено бесконечно много рациональных чисел.
Следовательно, на любом конечном интервале о равномощности натуральных и рациональных чисел не может быть и речи.
Тем не менее считается хрестоматийным фактом, что множества натуральных и рациональных чисел, рассматриваемые как бесконечные, равномощны (в частности счетны).

Alatin, определение равномощности множеств Вам известно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве счетности множества рациональных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2014, 15:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2014, 14:04
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемый Andy!
Что именно заставило Вас усомниться в моем знании понятия равномощности (эквивалентности) множеств?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве счетности множества рациональных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2014, 15:40 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22360
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alatin писал(а):
Уважаемый Andy!
Что именно заставило Вас усомниться в моем знании понятия равномощности (эквивалентности) множеств?

Alatin, чтение написанного Вами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве счетности множества рациональных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2014, 15:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 08:11
Сообщений: 1433
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
193 раз в 179 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alatin писал(а):
Заметим, что если оставаться в рамках заданного, например, парадоксом «Ахиллеса и черепахи» алгоритма, заключающегося в том, чтобы добавлять к пути все более и более мелкие отрезки, то придется признать, что Ахиллес никогда не перегонит черепаху. И чтобы уйти от этого парадокса, необходимо выйти за рамки данного алгоритма

Ошибка не в алгоритме, а во фразе "Ахиллес никогда не перегонит черепаху". То, что количество рассматриваемых отрезков времени бесконечно вовсе не означает, что сумма этих отрезков бесконечна. Никогда - это подразумевает сколь угодно большой отрезок времени, а в случае с Ахиллесом все рассматриваемые события происходят до времени Тn. Нижняя грань этих Tn и есть то самое время, когда Ахиллес обгонит черепаху.

И вообще, у ТС очевидные проблемы понимания работы с бесконечными множествами :). Если есть два сюръективных отображения A->B и B->A, то A и B равномощны и не надо париться насчет неинъективности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве счетности множества рациональных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2014, 17:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2014, 14:04
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вряд ли кто будет утверждать, что если два множества отображаются одно на другое (взаимно) сюръективно (надъективно), то они не равномощны.
Каждый согласится также, что Ахиллес, конечно же, перегонит черепаху, и легко вычислит этот момент времени и укажет точку на пути, где именно.
Суть парадокса (алгоритма) Ахиллеса-черепахи именно в том, что время в нем не рассматривается (игнорируется),
а задается бесконечная последовательность точек на пути, пройти которые (пересчитать) за конечное число шагов не представляется возможным.
С уважением - Алатин.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве счетности множества рациональных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2014, 18:32 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22360
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Alatin писал(а):
Рассмотрим положительный участок числовой прямой.
На любом сколько угодно большом конечном интервале расположено конечное число натуральных чисел.
На любом сколько угодно малом конечном интервале расположено бесконечно много рациональных чисел.
Следовательно, на любом конечном интервале о равномощности натуральных и рациональных чисел не может быть и речи.
Тем не менее считается хрестоматийным фактом, что множества натуральных и рациональных чисел, рассматриваемые как бесконечные, равномощны (в частности счетны).

Alatin, определение равномощности множеств Вам известно?

Alatin, может быть, Вы всё-таки объясните, каким образом, сравнивая конечное подмножество множества натуральных чисел с бесконечным множеством положительных рациональных чисел, можно прийти к выводу о несчётности последнего? Извините, что повторяюсь. :)

Или уточните, что Вы имеете в виду под "тем не менее".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве счетности множества рациональных чисел
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2014, 20:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 08:11
Сообщений: 1433
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
193 раз в 179 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alatin писал(а):
задается бесконечная последовательность точек на пути, пройти которые (пересчитать) за конечное число шагов не представляется возможным.

Если кто-то не умеет суммировать бесконечные сходящиеся ряды - то это его проблемы и "никогда" тут не причем.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О доказательстве счетности множества рациональных чисел
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2014, 17:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2014, 14:04
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не хочу никого обижать, но если кто-то не хочет вникнуть в логику парадокса, который не менее, чем 2500 лет
не покидает страниц весьма и весьма солидных монографий и учебников по логике, а горд тем, что освоил ряды, которые детально изучаются, скажем, у Фихтенгольца и еще в десятках учебников по матанализу-1, а также по матанализу-2, которые знает каждый второкурсник технического ВУЗа, не говоря уж об университетах, то далее объясняться на эту тему я отказываюсь.
Если у Вас есть что сказать по существу всей статьи - приму с благодарностью.


А вот Andy прав: слова в скобках "(в частности счетны)" следует выкинуть, так как они допускают неоднозначное толкование. Я - то имел в виду лишь равномощность множеств натуральных и рациональных чисел и уточнил просто для порядка, что оба они счетны.
Благодарю за дельное замечание и прошу, если есть возможность, дать замечания по существу, а не только по форме
всей статьи.
А "тем не менее" означает только одно:человек со здоровой интуицией, еще не испорченной, извините, не наученной изучением теории множеств, не может взять в толк: как это так, на любом конечном отрезке рациональных чисел бесконечно (!) больше, чем натуральных, а "всего" их "одинаковое число".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несчетность множества рациональных чисел в (0; 1)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

CO3HAHUE

4

755

24 янв 2019, 15:17

Вопросы о доказательстве несчетности действительных чисел

в форуме Размышления по поводу и без

creator4

35

837

16 фев 2020, 21:35

Покрытие рациональных чисел

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Human

3

533

10 янв 2016, 11:42

Последовательность рациональных чисел

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Vilisa

6

392

28 авг 2019, 08:49

Непонятны два момента в доказательстве свойства натур. чисел

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

K_A

2

329

04 фев 2019, 13:35

Существование последовательности рациональных чисел

в форуме Теория чисел

e7min

3

309

16 янв 2019, 11:09

Почему иррациональных чисел больше, чем рациональных?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Olegika

3

1010

03 сен 2018, 07:44

Неизмеримое по Жордану множество рациональных чисел

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vylv

7

1716

09 янв 2017, 14:08

Алгебра: док-во множества рац. чисел

в форуме Алгебра

evg1401

2

546

07 май 2018, 20:59

Сжатие множества натуральных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

granit201z

7

587

05 июн 2017, 20:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved