Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Мощность множества
СообщениеДобавлено: 24 июн 2014, 12:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2014, 11:47
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пытаюсь разобраться с мощностями множеств.... Объясните пожалуйста подробно как решать следующие задачи:

1. Какую мощность имеет множество всех монотонных отображений из N в N?

2. Какую мощность имеет множество всех монотонных функций из N в N?

3. Какую мощность имеет множество всех замкнутых подмножеств множества действительных чисел R?

Заранее спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мощность множества
СообщениеДобавлено: 24 июн 2014, 18:55 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 17:17
Сообщений: 1192
Cпасибо сказано: 63
Спасибо получено:
338 раз в 320 сообщениях
Очков репутации: 103

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LemonLemon писал(а):
1. Какую мощность имеет множество всех монотонных отображений из N в N?
Чем этот вопрос отличается от № 2, т.е., чем отображение отличается от функции? По моему опыту "функция" и "отображение" являются синонимами.

LemonLemon писал(а):
2. Какую мощность имеет множество всех монотонных функций из N в N?
Очевидно, не более континуума. Чтобы доказать, что и не менее, можно найти инъекцию из [math]2^{\Bbb N}[/math] (множества всех функций из [math]\Bbb N[/math] в [math]\{0,1\}[/math]) в требуемое множество. Именно, если [math]f \,\colon \Bbb N\to\{0,1\}[/math], рассмотрите функцию [math]g \,\colon\Bbb N\to\Bbb N[/math] такую, что [math]g(n+1)-g(n)=f(n)+1[/math].

LemonLemon писал(а):
3. Какую мощность имеет множество всех замкнутых подмножеств множества действительных чисел R?
Замкнутых подмножеств столько же, сколько открытых. А открытое подмножество полностью определяется интервалами с рациональным концами, содержащимися в нем. Поэтому нужно определить, сколько всего таких интервалов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
LemonLemon
 Заголовок сообщения: Re: Мощность множества
СообщениеДобавлено: 24 июн 2014, 19:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2014, 11:47
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое!
Относительно функций и отображений: как объясняли нам, отображение - это любое соответствие между элементами двух множеств, а функция - это такое соответствие, что образ каждого элемента состоит из не более чем одного элемента. То есть отображение R -> R: f(x)=x^2 не является функцией, поскольку значение 9 соответствует числам 3 и -3.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мощность множества
СообщениеДобавлено: 24 июн 2014, 19:39 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 17:17
Сообщений: 1192
Cпасибо сказано: 63
Спасибо получено:
338 раз в 320 сообщениях
Очков репутации: 103

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Обычно произвольное соответствие называется (бинарным) отношением. Какое же отображение называется монотонным? В любом случае, наверняка монотонные функции являются монотонными отображениями, поэтому последних не меньше, чем континуум. Но множество отображений (отношений) есть [math]\mathcak{P}(\Bbb N\times\Bbb N)[/math] (множество всех подмножеств декартова произведения [math]\Bbb N[/math] на [math]\Bbb N[/math]). Поскольку данное произведение счетно, то множество всех отображений тоже имеет множество континуум.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мощность множества
СообщениеДобавлено: 24 июн 2014, 20:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2014, 11:47
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Насчет 2 задания... Не очень понимаю как рассмотреть функцию g? Что это даст? Почему мощность будет не меньше континуума?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мощность множества
СообщениеДобавлено: 24 июн 2014, 21:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 17:17
Сообщений: 1192
Cпасибо сказано: 63
Спасибо получено:
338 раз в 320 сообщениях
Очков репутации: 103

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LemonLemon писал(а):
Насчет 2 задания... Не очень понимаю как рассмотреть функцию g?
Рекомендую взять какую-нибудь конкретную функцию [math]f[/math] (последовательность нулей и единиц; выпишите первые несколько значений) и по ней построить [math]g[/math].

LemonLemon писал(а):
Что это даст?
Я же писал, что это дает инъекцию из [math]2^{\Bbb N}[/math] в множество монотонных функций. Нахождение инъекций и использование теоремы Кантора–Бернштейна — основной способ доказательства равномощности двух множеств.

LemonLemon писал(а):
Почему мощность будет не меньше континуума?
Потому что мощность [math]2^{\Bbb N}[/math] совпадает с мощностью множества действительных чисел [math]\Bbb R[/math], а также мощностью семейства подмножеств натуральных чисел [math]\mathcal{P}(\Bbb N)[/math], т.е. континуумом. То, что [math]\left|2^{\Bbb N}\right|=|\mathcal{P}(\Bbb N)|[/math], легко видеть, если рассматривать любую функцию из [math]\Bbb N[/math] в [math]\{0,1\}[/math] как характеристическую функцию некоторого подмножества [math]\Bbb N[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мощность множества
СообщениеДобавлено: 25 июн 2014, 21:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2014, 11:47
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо!
Со 2 вроде понятно)
А в 3 задании выходит, что всего таких интервалов континуум?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мощность множества
СообщениеДобавлено: 25 июн 2014, 23:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 17:17
Сообщений: 1192
Cпасибо сказано: 63
Спасибо получено:
338 раз в 320 сообщениях
Очков репутации: 103

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LemonLemon писал(а):
А в 3 задании выходит, что всего таких интервалов континуум?
Да. На самом деле, я не совсем ясно высказался раньше.

3D Homer писал(а):
Замкнутых подмножеств столько же, сколько открытых. А открытое подмножество полностью определяется интервалами с рациональным концами, содержащимися в нем. Поэтому нужно определить, сколько всего таких интервалов.


Таких (открытых) интервалов счетное число, а следовательно множеств таких интервалов — континуум. Далее, [math]x\mapsto(x-1,x+1)[/math] — инъекция из [math]\mathbb{R}[/math] в семейство открытых множеств. Альтернативно, [math]x\mapsto\{x\}[/math] — инъекция в семейство замкнутых множеств. Поэтому и открытых, и замкнутых множеств не меньше, чем [math]|\Bbb R|[/math]. Обратно, отображение, которое ставит открытому множеству семейство содержащихся в нем открытых интервалов с рациональными концами — тоже инъекция во множество мощности континуум. Действительно, множество однозначно восстанавливается по семейству таких интервалов; более точно оно является их объединением.

Поэтому замкнутых множеств действительно континуум, что удивительно, поскольку всех подмножество действительных чисел намного больше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Мощность множества

в форуме Теория чисел

duducai007

1

298

15 мар 2014, 23:13

Мощность множества

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Ellipsoid

1

433

16 янв 2013, 18:20

Мощность множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

dona_9

5

131

28 май 2016, 17:44

Мощность множества

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

[dominika]

15

765

05 ноя 2013, 21:34

Мощность фактор-множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

briz

9

838

17 дек 2015, 10:06

Найти мощность множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

melika

5

270

22 апр 2016, 17:36

Чему равна мощность множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Erka

2

218

29 май 2014, 21:41

Какова мощность множества всех последовательностей

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

torres070

6

482

18 ноя 2013, 20:45

Отображение, мощность множества действительных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

n-0-0-b

5

266

23 окт 2014, 10:35

Мощность множества всех функций, определенных на множестве Q

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

qwqw

1

180

26 янв 2016, 16:20


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved