Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3
СообщениеДобавлено: 02 фев 2014, 00:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 фев 2014, 00:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте математики!

Читаю дискретную математику от Хаггарти и нахожу следующую задачу:

Методом математической индукции доказать, что (n^3)-n делится на 3 при любом натуральном n.

Далее привожу ответ к задаче из самого учебника:

Изображение

Красным подчеркнут главный пипец этой задачи.

Скажите, пожалуйста, на каком основании делается заключение о верности предиката? На основании предположения? Тогда можно заменить k на n и получим исходную задачу! И зачем вообще всё это решать, если можно было просто написать "(n^3)-n делится на 3 по предположению индукции". :crazy:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3
СообщениеДобавлено: 02 фев 2014, 01:20 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bat_dmitry писал(а):
Скажите, пожалуйста, на каком основании делается заключение о верности предиката?
Это не заключение, а предположение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3
СообщениеДобавлено: 02 фев 2014, 01:23 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bat_dmitry, предположение о верности предиката делается на основании теоремы 1 отсюда: http://isu-sibadi.ru/scince/books/detai ... &PAGEN_1=5. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3
СообщениеДобавлено: 02 фев 2014, 01:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 фев 2014, 00:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Погодите, ребятки. Мы говорим "число делится по предположению" и на этом основываем заключение? Или на этом основываем очередное предположение? В чем же тут доказательство, если одни предположения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3
СообщениеДобавлено: 02 фев 2014, 01:29 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bat_dmitry, попробуйте доказать, исходя из принципа математической индукции, что число [math]n^3-n[/math] непременно делится, например, на [math]5.[/math] :puzyr:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
bat_dmitry
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3
СообщениеДобавлено: 02 фев 2014, 01:32 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bat_dmitry писал(а):
Мы говорим "число делится по предположению" и на этом основываем заключение?
Заключение мы основываем на том, что число должно делиться и для k+1 из предположения, что оно делится для k. Это рекуррентная последовательность шагов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3
СообщениеДобавлено: 02 фев 2014, 01:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 фев 2014, 00:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Andy
Тогда будет так: первое слагаемое делится на 5 по предположению индукции, а второе не делится на 5, поэтому в целом число не делится на 5.

mad_math писал(а):
mad_math
А предположение, что число делится для k мы делаем потому, что оно делится при k=1?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3
СообщениеДобавлено: 02 фев 2014, 01:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bat_dmitry, Ваш вопрос касается самого принципа математической индукции.
Суть этого метода доказательства в следующем:

1. Проверяем, выполняется ли условие при наименьшем возможном n. В Вашем примере n=1.
2. Предполагаем, что условие выполняется для некоторого k>=n.
3. Доказываем, что если верно предположение 2., то условие выполняется для k+1 (следующего за ним значения).

Если это возможно доказать, то условие выполняется для любого n. Сами посудите: условие выполняется для значения n=1. Но тогда (по доказанному) оно выполняется и для следующего значения n=2.
Если выполняется для n=2, то выполняется и для n=3 (следующего за 2).
И так далее до бесконечности. Иными словами, условие выполняется для любого значения n.
В этом состоит принцип математической индукции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3
СообщениеДобавлено: 02 фев 2014, 01:50 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bat_dmitry писал(а):
А предположение, что число делится для k мы делаем потому, что оно делится при k=1?
Вы понимаете, что такое предположение, допущение?

А почему мы, доказывая что-то методом от противного, делаем предположение, что справедливо обратное утверждаемому в теореме? Тогда можно на этом предположении заканчивать доказательство и утверждать, что теорема несправедлива, а справедливо обратное. Ага.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
bat_dmitry
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3
СообщениеДобавлено: 02 фев 2014, 01:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bat_dmitry писал(а):
А предположение, что число делится для k мы делаем потому, что оно делится при k=1?

Нет. Предположение делается просто так. Оно может быть абсолютно любым. Просто если оно неверно, то мы не сможем доказать п.3.
Скажу по-другому: мы проверили, что выражение делится при n=1 и предполагаем, что оно будет делится и при некотором произвольном k>n. И если из этого следует, что выражение делится и при k+1, то оно будет делится при любом n.


Последний раз редактировалось radix 02 фев 2014, 02:01, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
bat_dmitry, mad_math, Student2019
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачка из учебника

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

slava_psk

11

459

22 апр 2021, 15:23

Задачка из учебника Шарыгина

в форуме Геометрия

Student Studentovich

76

2235

18 апр 2017, 17:16

Задачка на делимость

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

IvanPetrovPRO

18

547

12 окт 2020, 23:28

Олимпиадная задачка про делимость

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Fireman

4

424

26 янв 2018, 15:09

Задачка на логику про делимость

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

rancid_rot

1

190

16 май 2020, 13:22

Учебник Хаггарти

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Student2019

2

222

09 май 2019, 23:10

Задача из учебника

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

slava_psk

1

161

22 апр 2021, 09:22

Задача из учебника Погорелова

в форуме Геометрия

lc2

3

209

27 окт 2019, 18:01

Задача по ТВ из учебника Кибзуна

в форуме Теория вероятностей

litvinenkonikita

4

440

15 апр 2020, 15:53

Вопрос по доказательству из учебника по АТЧ

в форуме Теория чисел

seraphimt

2

436

04 авг 2015, 23:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved